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ASE2: Convergence et estimation - 3

Lien de la note Hackmd

X¯ est un exemple d’estimateur de la moyenne m=E(X) (sert a approximer la moyenne de la population globale)

Proposition

S2=1ni=1nXi2(X¯)2

Demo

S2=1ni=1n(XiX¯)=1ni=1n(Xi2XiX¯+X¯2)=1ni=1nXi22X¯i=1nXi+nnX¯2=1ni=1nXi22X¯2+X¯=1ni=1nXi(X¯)

Montrons que S2Pσ2 lorsque n+

D’après la loi des grands nombres, on a: X¯=1ni=1nXiPm=E(X) quand n+ et 1ni=1nXi2PE(X2) quand n+ Donc S2=1ni=1nXi2(X¯)2PE(X2)E2(X)=σ2=V(X)

On appelle biais de l’estimateur la quantité b(Tn)=E(Tn)θ

Comme exemple X¯ est un estimateur sans biais de m=E(X) puisque E(X¯)=m

On appelle risque quadratique de Tn ou erreur quadratique: R(Tn)=E((Tnθ)2)

Propositiom

Le risque quadratique est :

R(Tn)=V(Tn)+(E(Tn)θ)2

Démonstration

(Tnθ)2=(TnE(Tn)+E(Tn)θ)2E((Tnθ)2)=E((TnE(Tn))2)+2E((TnE(Tn))(E(Tn)θ))+E((E(Tn)θ)2)=V(Tn)+2(E(Tn)θ)(E(Tn)E(Tn))+(E(Tn)θ)2Donc R(Tn)=V(Tn)+(E(Tn)=θ)2

Remarque

Si l’estimateur est sans biais b(Tn)=E(Tn)θ=0 Alors R(Tn)=V(Tn) Donc si on a deux estimateurs sans biais du paramètre θ, le plus précis est celui de variance minimale.

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