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Exercice 1
Determiner les fonctions caracteristiques dans les cas suivants:
$X$ suit la loi binomiale $B(n,p)$
Solution
$X$ suit la loi $B(n,p)$. $X$ est une somme independante de variables de Bernoulli $B(p)$.
\[X = \sum^n_{j=1}X_j\]ou $X_j\to B(p) \forall j = 1,…, n$
D’apres le cours, on a calcule la fonction caracteristique de Bernouilli $\phi_{x_j}(t) = q + pe^{it}$ avec $q = 1-p$ or les $X_i$ sont independantes
\[\phi_{\sum_{j=1}^{k}X_j} = \Pi^k_{j=1}\phi_{X_j}(t) = (q+pe^{it})^n\]Remarque: Comme 2e methode on peut calculer directement $\phi_X(t)$, $X\to B(n,p)$
\[\begin{aligned} \phi_X(t) &= \sum^n_{k=0}e^{itk}P(X=k)\\ &= \sum^n_{k=0}e^{itk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \\ &= \sum^n_{k=0}\binom{n}{k}(pe^{it})^k(1-p)^{n-k}\\ &= (1-p+pe^{it})^n \text{ (Netwon)}\\ &= (q+pe^{it})^n \end{aligned}\]$X$ suit la loi de Poissons $P(\lambda)$
Solution
$X\to P(\lambda)$ Poisson de parametre $\lambda$.
\[\begin{aligned} P(X=k) &= e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \forall k\in\mathbb N\\ \phi_X(t) &= \sum_{k=0}^{+\infty}e^{itk}P(X=k) = \sum_{k=0}^{+\infty}e^{itk}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\lambda e^{it})^{k}}{k!}\\ \end{aligned}\]Rappel: $\sum_0^{+\infty}\frac{x^k}{k!} = e^x$
Donc:
\[\begin{aligned} \phi_X(t) &= e^{-\lambda}\exp(\lambda e^{it})\\ &= \exp(-\lambda+\lambda e^{it}) \end{aligned}\]$X$ suit la loi uniforme $U[-a,a]$
Solution
$X\to U_{[-a, a]}$ (Loi uniforme sur $[-a, a]$) Sa densite est: \(f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2a} &\forall x\in [-a, a]\\ 0 &\text{sinon} \end{cases}\)
Donc:
\[\begin{aligned} \phi_X(t) &= \int_{\mathbb R}e^{itx}f(x)dx = \frac{1}{2a}\int_{-a}^ae^{itx}dx\\ &= \frac{1}{2a}\biggr[\frac{e^{itx}}{it}\biggr]^a_{-a} = \frac{1}{2a}\biggr(\frac{e^{ita} - e^{-ita}}{it}\biggr)\\ &\Rightarrow \phi_X(t) = \frac{2i\sin(at)}{2ait} = \frac{sin(at)}{at} \end{aligned}\]$X$ suit la loi normale $N(0,1)$
Solution
$X\to N(0,1)$ (Loi normale centree reduite) En utilisant la formule de Mac-Laurin:
\[\phi_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}i^kE(X^k)\]or $X\to N(0,1)$
$E(X^k) = 0$ si $k$ impair et $E(X^{2k}) = \frac{(2k)!}{2^kk!}$
Donc:
\[\begin{aligned} \phi_X(t) &= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-\frac{t^2}{2})^k}{k!} \\ &= e^{-\frac{t^2}{2}} \end{aligned}\]Exercice 2
Soit $X_n$ une suite de variables aleatoires de densite $f(x)=\frac{ne^{-nx}}{(1+e^{-nx})^2}$. Montrer que $X_n\to^P_{n\to+\infty}0$
Solution
$X_n$ suite de VA
$f_n(x) = \frac{ne^{-nx}}{(1+e^{-nx})^2}$
On veut montrer que $X_n\to^P_{n\to+\infty}0$
\[\begin{aligned} P(\vert X_n\vert\gt\varepsilon) &= 1 - P(\vert X_n\vert\le\varepsilon)\\ &= 1 - P(-\varepsilon\le X_n\le\varepsilon)\\ &= 1 - \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}f_n(x)dx\\ &= 1-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{ne^{-nx}}{(1+e^{-nx})^2}dx\\ &= 1 - \biggr[\frac{1}{1+e^{-nx}}\biggr]_{-\varepsilon}^{\varepsilon} = 1-\frac{1}{1+e^{-n\varepsilon}}+\frac{1}{1+e^{n\varepsilon}}\\ \lim_{n\to+\infty}P(\vert X_n\vert\gt\varepsilon) &= 1- 1 + 0 =0\\ \end{aligned}\\\]Donc $X_n\to^{P}_{n\to+\infty}0$