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Exercice 5
Soit $X$ une v.a. normale centree et reduite $X\to\mathcal N(0,1)$. Montrer que $\forall x\in\mathbb R^*_+$
\[\int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt\ge\sqrt{\frac{\pi}{2}}(1-\frac{1}{x^2})\]Utiliser Tchebychev.
Solution
Soit $X\to\mathcal N(0,1)$ (Loi normale centree reduite).
D’apres l’inegalite de Techbychev:
\[\begin{aligned} \forall\varepsilon\gt0, &P(\vert X-E(X)\vert\ge\varepsilon)\le\frac{V(X)}{\varepsilon^2}\\ \text{or: } &E(X) = 0 \text{ et } V(X) = 1\\ &P(\vert X\vert\ge\varepsilon)\le\frac{1}{\varepsilon^2}\\ \text{et} &P(\vert X\vert\ge\varepsilon)=1-P(\vert X\vert\le\varepsilon)\\ \text{Ca permet d'ecrire: } &P(\vert X\vert\lt\varepsilon)\ge 1-\frac{1}{\varepsilon^2}\\ \text{c.a.d.} &P(-\varepsilon\lt X\lt\varepsilon)\ge1-\frac{1}{\varepsilon^2}\\ &F(\varepsilon) - F(-\varepsilon)\ge 1-\frac{1}{\varepsilon^2} \text{ F: fonction de densite de }\mathcal N(0,1)\\ &F(\varepsilon) - (1-F(\varepsilon))\ge 1-\frac{1}{\varepsilon^2}, \forall\varepsilon\gt0\\ \Rightarrow &2F(\varepsilon) -1 \ge 1-\frac{1}{\varepsilon^2}(*) \end{aligned}\]On a aussi $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-\frac{t^2}{2}} = F(x) - F(0) = F(x) - \frac{1}{2}, \forall x\gt0$
\[\begin{aligned} \Rightarrow \int_0^xe^{-\frac{t^2}{2}} &= \sqrt{2\pi}(F(x) - \frac{1}{2})\\ &=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}(2F(x) - 1), \forall x\gt0 \end{aligned}\]Grace a l’inegalite $(*)$ et en remplacant $\varepsilon$ par $x$, on obtient $\forall x\gt0$:
\[\int_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}(2F(x) - 1)\ge\frac{\sqrt{2\pi}}{2}(1-\frac{1}{x^2})\]On a bien:
\(\forall x\gt0, \int_0^Xe^{-\frac{t^2}{2}}\ge\sqrt{\frac{\pi}{2}}(1-\frac{1}{x^2})\)
Exercice 6
On considere une suite suite de v.a.a $(X_n), n\in\mathbb N^*$ dsitribue suivant la loi de Poisson $\mathcal P(\frac{1}{n}), (\lambda = \frac{1}{n})$. Montrer que $X_n$ converge en loi vers la variable aleatoire $X=0$ $(X_n\to_{n\to+\infty}^L0)$
Solution
$(X_n), n\in\mathbb N^*$ suit la loi de Poisson $\mathcal P(\frac{1}{n})$.
Rappel:
\[P(X_n=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \text{ (avec } \lambda = \frac{1}{n}\text{)}\]- Si $k=0$, $P(X_n = 0) = e^{-\frac{1}{n}}\to_{n\to+\infty}1$
- Si $k\ge1$, $P(X_n=k)=\frac{1}{n^kk!}e^{-\frac{1}{n}}\to_{n\to+\infty}0$ car $\frac{1}{n^k}\to_{n\to+\infty}0$
Conclusion: on a montre que
\[\begin{cases} &\lim_{n\to+\infty}P(X_n=0)=1=P(X=0) \Leftrightarrow X_n\to_{n\to+\infty}^L0 \text{ variable certaine}\\ &\lim_{n\to+\infty}P(X_n=k) = 0 = P(X=k), \forall k\ge1 \end{cases}\]Exercice 7
Soir $X$ une v.a. suivant la loi exponentielle de parametre $(\lambda\gt0)$.
- Montrer que $\forall\varepsilon\gt0$, $P(\vert X-\frac{1}{\lambda}\vert\ge\varepsilon)\le\frac{1}{\lambda^2\varepsilon^2}$
- En deduire que $P(X\gt\frac{3}{\lambda})\le\frac{1}{4}$
Solution
$X$ suit la loi exponentielle$(\lambda)$ de parametre $\lambda$.
1.On rappelle que $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$. En appliquant l’inegalite de Tchebychev:
\[\begin{aligned} &P(\vert X-E(X)\vert\ge\varepsilon)\le\frac{V(X)}{\varepsilon^2}, \forall\varepsilon\gt0\\ \Rightarrow &P(\vert X-\frac{1}{\lambda}\vert\ge\varepsilon)\le\frac{\lambda}{\lambda^2\varepsilon^2}, \forall\varepsilon\gt0 \end{aligned}\]2.L’evenement:
\[(\vert X-\frac{1}{\lambda}\vert\ge\varepsilon) = (X-\frac{1}{\lambda}\ge\varepsilon)\cup(X-\frac{1}{\lambda}\le-\varepsilon)\\ \text{or: } A\in A\cup B\\ \text{donc: } (X-\frac{1}{\lambda}\ge\varepsilon)\in(\vert X-\frac{1}{\lambda}\vert\ge\varepsilon \vert)\]On en deduit, par croissance de la probabilite:
\[\begin{aligned} &P(X-\frac{1}{\lambda}\ge\varepsilon)\le P(\vert X-\frac{1}{\lambda}\vert\ge\varepsilon)\\ \Rightarrow &P(X-\frac{1}{\lambda}\ge\varepsilon)\le\frac{1}{\lambda^2\varepsilon^2} \text{ (d'apres la question 1)} \end{aligned}\]En choisissant $\varepsilon=\frac{2}{\lambda}\gt0$, on obtient $P(X\ge\frac{3}{\lambda})\le\frac{1}{4}$
Exercice 8
$(X_n)$ une suite de v.a. telle que $\forall n\in\mathbb N^*$: $X_n$ suit la loi geometrique $G(\frac{1}{n})$ (de parametre $\frac{1}{n}$). On pose $Y_n=\frac{X_n}{n}$.
- Determiner la fonction de repartition de la suite $Y_n:P(Y_n\le x), \forall x\in\mathbb R$
- Montrer que $Y_n\to_{n\to+\infty}^LY$ avec $Y$ suit la loi exponentielle $(\lambda = 1)$
Solution
$(X_n), n\gt0$ une suite de v.a. geometrique $G(\frac{1}{n})$ avec $p=\frac{1}{n}$ parametre.
Rappel:
\[\begin{aligned} P(X_n = k) &= (1-p)^{k-1}p, \forall k\ge1\\ &= (1-\frac{1}{n})^{k-1}\frac{1}{n} \end{aligned}\]1.On veut determiner la fonction de repartition de $Y_n$.
\[\forall x\le0, P(Y_n\le x) = P(X_n\le nx) = 0 \text{ car } nx\le0\]Remarque: donc $\forall x\le 0$, $\lim_{n\to+\infty}P(Y_n\le x) = 0$.
$\forall x\gt 0$ (reel strictement positif). Des que $n$ est assez grand, $nx\ge 1$.
\[\begin{aligned} P(Y_n\le x) &= P(X_n\le nx) = \sum_{k=1}^{[nx]}P(X_n=k) \text{ }([nx] \text{participation entiere de } nx)\\ \forall x\gt0, P(Y_n\le x) &= \sum_{k=1}^{[nx]}(1-\frac{1}{n})^{k-1}\frac{1}{n}\\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{[nx]}(1-\frac{1}{n}^){k-1} = \frac{1}{n}\biggr(\frac{1-(1-\frac{1}{n})^{[nx]}}{1-(1-\frac{1}{n})}\biggr)\\ &= P(Y_n\le x) = 1 - (1-\frac{1}{n})^{[nx]} \end{aligned}\]Donc:
\[F_n(X) = P(Y_n\le x) = \begin{cases} 0 &x\le0\\ 1-(1-\frac{1}{n})^{[nx]} &x\gt0 \end{cases}\]On a:
\[(1-\frac{1}{n})^{[nx]} = \exp([nx]ln(1-\frac{1}{n}))\\ \ln(1-\frac{1}{n})\sim-\frac{1}{n} \text{ (} n \text{ au voisinage de } +\infty \text{)}\\ \text{(}\ln(1+x)\sim x\text{ au (voisinage de 0))}\]Par definition de la partie entiere:
\[\begin{aligned} &[nx]\le nx\lt[nx] + 1\\ &nx-1\lt[nx]\le nx\\ &\Rightarrow 1-\frac{1}{nx}\lt\frac{[nx]{nx}}\le1\\ &\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}\frac{[nx]}{nx}\le1\\ &\Rightarrow [nx]\sim nx \text{ (} n \text{ au voisinage de } +\infty\text{)} \end{aligned}\]Donc $[nx]\ln(1-\frac{1}{n})\sim nx(-\frac{1}{n})=-x$.
\[\exp([nx]\ln(1-\frac{1}{n}))\sim e^{-x} \text{ (} n \text{ au voisinage de } +\infty\text{)}\\ \forall x\gt0, \lim_{n\to+\infty} F_n(x) = \lim_{n\to+\infty}P(Y_n\le x)=1-e^{-x}\]Conclusion:
\[\forall x\le 0, \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=\lim_{n\to+\infty}P(Y_n\le x)=0\\ \text{et}\\ \forall x\gt0, \lim_{n\to+\infty}F_n(x)=\lim_{n\to+\infty}P(Y_n\le x)=1-e^{-x}\\ \text{or } F(x) \begin{cases} 0 &x\le 0 \\ 1-e^{-x} &x\gt 0 \end{cases}\]$F(x)$ est la fonction de repartition de la loi exponentielle$(\lambda=1)$