ASE2: Rappels sur les lois

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Loi normale centree reduite

• $E(X) = 0$
• $V(X) = 1$
• $f(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$
• $F(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^Xe^{-\frac{t^2}{2}}$

Loi Poisson

• $P(X_n=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ (avec $\lambda = \frac{1}{n}$)

\[P(X_n=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \text{ (avec } \lambda = \frac{1}{n}\text{)}\\ P(X_n = k)= e^{-\frac{1}{n}}\frac{1}{n^kk!}, \forall k\in\mathbb N\]

• Si $k=0$, $P(X_n = 0) = e^{-\frac{1}{n}}\to_{n\to+\infty}0$
• Si $k\ge1$, $P(X_n=k)=\frac{1}{n^kk!}e^{-\frac{1}{n}}\to_{n\to+\infty}0$ car $\frac{1}{n^k}\to_{n\to+\infty}0$

Loi exponentielle

• $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
• $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
• Densité de probabilité:

\[\begin{cases} f(t)=0 &\text{si }t \lt 0\\ f(t)=\frac{1}{E(X)}e^{-\frac{t}{E(X)}} &\forall t\ge0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases} f(t)=\lambda e^{-\lambda t} &\text{si } t\ge0\\ f(t)=0 &\text{si }t \lt 0\\ \end{cases}\]

• Fonction de répartition:

\[\begin{cases} F(t)=1 - e^{-\lambda t} &\text{si } t\ge0\\ F(t)=0 &\text{si }t \lt 0\\ \end{cases}\]

Loi geometrique

• $E(X)=\frac{1}{p}$
• $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

$(X_n), n\gt0$ une suite de v.a. geometrique $G(\frac{1}{n})$ avec $p=\frac{1}{n}$ parametre.

\[\begin{aligned} P(X_n = k) &= (1-p)^{k-1}p, \forall k\ge1\\ &= (1-\frac{1}{n})^{k-1}\frac{1}{n} \end{aligned}\]