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Avec Poisson: approximation en serie, mieux de passer par la Gaussienne (loi binomiale) car moins de calculs
Exercice 9
Une usine fabrique des pieces, dont $3\%$ ont des defauts
- On preleve 1000 pieces au hasard
- Quelle est la probabilite d’avoir plus de $50$ pieces defectueuses ?
- Quelles est la probabilite d’avoir entre $20$ et $40$ pieces defectueuses ?
- On veut $1950$ pieces sans defaut. Par prudence, on en preleve $2000$ au hasard. Quelle est la probabilite d’avoir sufffisamment de pieces en bon etat ?
Solution
Soit $X$ la v.a.: nombre de pieces defectueurse parmi 1000.
$X$ suit la loi $\mathcal B(n,p)$ avec $n=1000$ et $p=0,03$
\[\mathcal B(n,p)\simeq \mathcal N(np,\sqrt{npq})\\ \text{Donc } \frac{X-np}{\sqrt{npq}}\to^{\mathcal L}\mathcal N(0,1)\text{ (theoreme Moivre-Laplace)}\\ \begin{cases} np=30\\ npq=29,1 \end{cases}\\ \sqrt{npq}=\sqrt{29,1}=5,4\]1.1.
\[\begin{aligned} P(X\gt50)&=1-P(X\le50)\\ &\simeq 1-P(U\le\frac{50-30+0.5}{5,4}) \end{aligned}\]avec $U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal N(0,1)$
\[\begin{aligned} P(X\gt50)&\simeq 1-P(U\le3,8)\\ &\simeq 1-F(3,8)=1,0-0,9999... = 0 \end{aligned}\]1.2.
\[P(20\le X\le40)\simeq P(\frac{20-30-0,5}{5,4}\le U\le\frac{40-30+0,5}{5,4})\]avec $U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal N(0,1)$
\[\begin{aligned} P(20\le X\le40)&= P(-1,94\le U\le 1,94)\\ &= F(1,94)-F(-1,94) \text{ } F \text{ fonction de repartition de }\mathcal N(0,1)\\ &= F(1,94)-(1-F(1,94))\\ &= 2F(1,94)-1 = 2\times 0,9738 \text{ (Table de } \mathcal N(0,1)\text{)}\\ &= 0,9476 \end{aligned}\]2.
\[X\to\mathcal B(2000,p=0,03), n=2000\\ np=60,npq=58,2,\sqrt{npq}=7,63\\ \mathcal B(2000;0,03)\simeq\mathcal N(60;7,63)\]On veut $1950$ pieces en bon etat, donc:
\[P(X\le50)=P(\frac{X-60}{7,6}\le\frac{50-60+0,5}{7,63})\\ U=\frac{X-60}{7,63}\to\mathcal N(0,1)\]Donc:
\[\begin{aligned} P(X\le50)&=P(U\le-1,25)\\ &= F(-1,25)\\ &= 1-F(1,25)\\ &= 1-0,8944=0,1056 \end{aligned}\]Exercice 10
Le nombre de pannes, par mois, sur une certaines machine, suit une loi de Poisson de moyenne egale a $3$. Un atelier fonctionne avec $12$ machines de ce type, independantes.
En un mois, quelle est la probabilite de constater dans cet atelier:
- Plus de $42$ pannes ?
- entre $36$ et $45$ pannes ?
Solution
Soit $X_i$ v.a.: nombre de pannes, en un mois de la machine $n^oi$, $X_i\to\mathcal P(3)$. Soit $S_{12}=X_1+X_2+…+X_{12}$, $S_{12}$: nombre de pannes dans l’atelier $(X_i)$ sont independantes donc: $S_{12}=\sum_{i=1}^{12}\to\mathcal P(12\times 3)=\mathcal P(36)$.
\[S_{12}\to\mathcal P(36), \lambda=36\gt20\]On peut approximer cette loi par la loi normale:
\[\frac{S_{12}-36}{\sqrt{36}}\simeq\mathcal N(0,1)\]1.
On cherche $P(S_{12}\gt42)$
\[\begin{aligned} P(S_{12}\gt42)&=P(\frac{S_{12}-36}{6}\gt\frac{42-36}{6})\\ &= P(\frac{S_{12}-36}{6}\gt1)\\ &=1-P(U<1)\text{ avec } U=\frac{S_{12}-36}{6}\\ &=1-F(1)\\ &=1-0,8413=0,1587 \end{aligned}\]2.
\[\begin{aligned} P(36\lt S_{12} \lt45) &=P(0\lt\frac{S_{12}-36}{6}\lt\frac{3}{2})\\ &=F(1,5)-F(0)\\ &= 0,9332-0,5=0,4332 \end{aligned}\]Exercice 11
On jette $600$ fois un de equilibre a $6$ faces. On note $X$ le nombre d’apparitions de l’as (face marquee 1).
- Quelle est la loi de $X$ ?
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$
- Calculer $P(X\gt 110)$
- Determiner un intervale $[a;b]$ centre sur $E(X)$ tel que $P(a\le X\le b)=0,95$
Solution
1.
\[X\to\mathcal B(n,p)=\begin{cases} n=600\\ p=\frac{1}{6} \end{cases}\]2.
\[E(X) = np = 100,\sigma(X)=\sqrt{100\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}} = 9,13\]3.
\[\begin{aligned} P(X\gt110) &= P(\frac{X-100}{9,13}\gt\frac{110-100}{9,13})\\ &= P(U\gt\frac{110-100}{9,13})\\ &= P(U\gt1,15)\text{ avec } U=\frac{X-100}{9,13}\to\mathcal N(0,1)\\ &= 1-F(1,15) \end{aligned}\]Donc $P(X\gt110)=1-0,8749=0,13$
4.
Soit $r$: rayon de l’intervalle 
On cherche $r$ tel que
\[P(\vert X-100\vert\le r)=0,95\]Posons $U=\frac{X-100}{9,13}$
\[\begin{aligned} P(\vert X-100\vert\le r)=P(\vert U\vert\le\frac{r+0,5}{9,13})&=0,95\\ P(\frac{-r-0,5}{9,13}\le U\le\frac{r+0,5}{9,13})&=0,95\\ F(\frac{r+0,5}{9,13})-F(\frac{-r-0,5}{9,13})&=0,95\\ 2F(\frac{r+0,5}{9,13})-1&=0,95\\ \end{aligned}\\ F(\frac{r+0,5}{9,13}) = \frac{1,95}{2} = 0,975\\ \text{D'apres la table: } \frac{r+0,5}{9,13}=1,96\\ \Rightarrow r= 1,96\times 9,13-0,5=17,39\\ \text{Donc: } \begin{cases} a=100-17,39=82,61\\ b=100+17,39=117,39 \end{cases}\]