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Couple de variables aleatoires reelles et discretes
Soient $X$ et $Y$ 2 v.a reelles discretes.
On appelle couple $(X,Y)$ l’application de $\Omega\to\mathbb R^2$ definie par $(X,Y)(\omega)=(X(\omega), Y(\omega))$
$X$ et $Y$ sont definis sur un meme espace probabilite (\(\underbrace{\Omega}_{\text{univers}}, \underbrace{\mathcal C}_{\text{tribu}}, \underbrace{P}_{\text{probabilite}}\))
La loi d’un couple $(X,Y)$ (Loi conjointe)
Definition On appelle loi de $(X,Y)$ l’ensemble des couples $((x_i,y_j), P_{i,j})$ ou
- $x_i\in X(\Omega)$ l’ensemble des valeurs de $X$
- $y_j\in Y(\Omega)$ l’ensemble des valeurs de $Y$
\(P_{ij} = \mathbb P((X=x_i)\cap(Y=y_j))\)
Si $I = [[1, r]]$ et $J = [[1,s]]$ (ensemble discret, ensemble des indices). Les $P_{i,j}$ sont souvent donnes dans le tableau a double entres.
| $X /Y$ | $y_1$ | $\dots$ | $y_j$ | $\dots$ | $y_s$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x_1$ | $P_{1,1}$ | $\dots$ | $P_{1,j}$ | $\dots$ | $P_{1,s}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | ||
| $x_i$ | $P_{i,1}$ | $\dots$ | $P_{i,j}$ | $\dots$ | $P_{1,s}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | ||
| $x_r$ | $P_{r,1}$ | $\dots$ | $P_{r,j}$ | $\dots$ | $P_{r,j}$ |
Lois marginales
Definition Les v.a $X$ et $Y$ sont appelees variables marginales du couple $(X,Y)$. La loi de $X$ (resp. de $Y$) est appelee loi marginale de $X$ (resp. de $Y$)
Notation:
\[\forall i\in I, P(X=x_i)=P_{i\circ} \text{ et } P(X=y_j)=P_{\circ j} \\ P_{i\circ} = P(X=x_i) = \sum_{j\in J}P((X=x_i)\cap(Y=y_j)) = \sum_{j\in J}P_{ij}\\ \forall j\in J\quad P_{\circ j}=\sum_{i\in I}P((X=x_i)\cap(Y=y_j)) = \sum_{i\in I}P_{ij}\]Exemple
$(X,Y)$ un couple de v.a. dont la loi conjointe est donnee par le tableau:
| $X / Y$ | 1 | 2 | 3 | 4 | $P_{i\circ}$ (Loi marginale de $X$) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{4}$ |
| 2 | 0 | $\frac{2}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{4}$ |
| 3 | 0 | 0 | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{4}$ |
| 4 | 0 | 0 | 0 | $\frac{4}{16}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $P_{\circ j}$ (Loi marginale de $Y$) | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{5}{16}$ | $\frac{7}{16}$ | 1 |
Loi conditionnelles
Definition
Soit $X$ une v.a reelle sur $(\Omega, \mathcal C, P)$
\[X(\Omega) = \{x_i\vert i\in I\}, \text{soit } A\text{ un evenement }/P(A)\neq 0\]La loi conditionnelle de $X$ sachant $A = {(x_i, P_A(X=x_i)), i\in I}$
En particulier, $A$: «$Y=y_i$»
\[P_{(Y=y_i)}(X=x_i)=\frac{P((X=x_i)\cap(Y=y_i))}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{i,j}}{P_{\circ j}}\]Exemple
On reprend l’exemple precedent
| $X_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $P_{(Y=3)}(X=x_i)$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $0$ |
Independantes
Definition $X$ et $Y$ sont 2 v.a. independantes ssi
Soit g une fonction de $\mathbb R^2\to\mathbb R$, definie sur l’ensemble des valeurs prises par $(X,Y)$ Soit $Z=g(X,Y)$, $Z_h=g(x_i,y_j)\in Z(\Omega)$
\[(Z=Z_k) = \cup_{(i,j) \\ Z_k = g(x_i,y_j)}((X=x_i)\cap(Y=y_j))\Rightarrow\color{red}{P(Z=Z_k)=\sum_{(i,j) \\ Z_k = g(x_i,y_j)}P((X=x_i)\cap(Y=y_i))}\]En particulier $Z=X+Y=g(X,Y)$
\[P(Z=z) = \sum_{(x,y) \\ x+y=z}P((X=x)\cap(Y=y))\]Si $Z=X.Y=g(X,Y)$
\[P(X.Y=z) = \sum_{(x,y) \\ x.y=z}P((X=x)\cap(Y=y))\]Exemple
$(X,Y)$ couple defini par
| $X / Y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 2 | 0 | $\frac{2}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 3 | 0 | 0 | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 4 | 0 | 0 | 0 | $\frac{4}{16}$ |
Determiner la loi de $Z=X+Y$
Solution
\[Z=\{2,3,4,5,6,7,8\}\]| $Z_k$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(Z=Z_k)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{4}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{4}{16}$ |
Determiner la loi de $Z=X.Y$
Solution
\[Z(\Omega) = \{1,2,3,4,6,8,9,12,16\}\]| $Z_k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(Z=Z_k)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{4}{16}$ |
Esperance d’une fonction de 2 v.a.r discretes
\[\begin{aligned} X(\omega)=\{x_1,...,x_i\}\\ Y(\omega)=\{y_1,...,y_j\} \end{aligned} \biggr\}Z=g(X,Y)\\ E(Z) = E(g(X,Y)) = \sum_{i,j}g(x_i,y_j)P((X=x_i)\cap(Y=y_i))\]Exemple
$g(X,Y) = X,Y$
Proposition
Proposition Si $X$ et $Y$ sont 2 v.a. independantes alors
Demonstration
\[E(X.Y) = \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^sx_iy_jP_{i,j}\]or $X$ et $Y$ sont independantes $P_{i,j} = P_{i\circ}\circ P_{\circ j}$
\[\begin{aligned} E(X.Y) &=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^sx_iy_jP_{i\circ}P_{\circ j}\\ &= \sum_{i=1}^rx_iP_i\biggr(\sum_{j=1}^sy_jP_{\circ j}\biggr)\\ &= \sum_{i=1}^rx_iP_{i\circ}E(Y)=E(X)E(Y) \end{aligned}\]La reciproque est fausse
Contre-exemple
$(X,Y)$ couple de loi conjointe
| $X / Y$ | 0 | 1 | 2 | $P_{i\circ}$ (Loi de $X$) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | $\frac{1}{20}$ | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{3}{10}$ |
| 1 | $\frac{17}{60}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{7}{10}$ |
| $P_{\circ j}$ (Loi de $Y$) | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ | $1$ |
et pourtant $X$ et $Y$ ne sont pas independantes car
\[P((X=0)\cap(Y=2)) = 0\\ P(X=0).P(Y=2) = \frac{3}{10}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{20}\]Covariance et coefficient de correlation lineaire
Definition $X$ et $Y$ 2 v.a. discretes. On appelle covariance de $(X,Y)$ le nombre reel
Proposition
\[Cov(X,Y)=E(X.Y) - E(X)E(Y)\]Demonstration
\[\begin{aligned} Cov(X,Y) &= E(\overbrace{(X-E(X))}^{\text{var centree}}\overbrace{(Y-E(Y))}^{\text{var centree}})\\ &= E(XY-XE(Y) - E(X)Y + E(X)E(Y))\\ &= E(X.Y) - E(Y)E(X) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y) \end{aligned}\]Cat $E$ est lineaire
Remarque: Si $X$ et $Y$ sont independantes alors $Cov(X,Y)=0$
Definition On appelle coefficient de correlation lineaire
- $\sigma_x=\sqrt{V(X)}$
- $\sigma_y=\sqrt{V(Y)}$