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Exercice 1
Soit \(X=\begin{pmatrix} 16 & 2 &0 \\ 8&12&10 \\ 12&16&14 \\ 20&8&14 \\ 16&4&10 \\ 0&6&12 \end{pmatrix}\)
On donne le meme poids a tous les individus: $p_i=\frac{1}{6}$ $\forall i$ et $M=I_3$
- Calculer la moyenne des variables et le centre de gravite
- Donner la matrice $Y$
- Calculer la matrice de var-covariance $V$
- Diagonaliser sur $MV=V$
- Calculer le $\%$ d’inertie
- Facteurs principaux
- Determiner les composantes principales et calculer les coefficients de correlation
Solution
\[\begin{aligned} &\begin{matrix}X^{(1)}&X^{(2)}&X^{(3)}\end{matrix}\\ X=&\begin{pmatrix} 16 & 2 &0 \\ 8&12&10 \\ 12&16&14 \\ 20&8&14 \\ 16&4&10 \\ 0&6&12 \end{pmatrix} \end{aligned}\]1.
$p_i=\frac{1}{6}$ $\forall i=1,2,4,5,6$ poids de chaque individu et $M=I_3$ metrique
La moyenne des variables:
\[\bar X^{(1)}=\sum_{i=1}^6p_iX_i^{(1)} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(1)}=\frac{72}{6}=12\\ \bar X^{(2)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(2)}=\frac{1}{6}\bullet 48=8\\ \bar X^{(3)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(3)}=\frac{60}{6}=10\]Donc $\bar X^{(1)}=12$, $X^{(2)}=8$, $X^{(3)}=10$.
Le centre de gravite du nuage forme par les 3 individus:
\[g^T=(12, 8, 10)\]2.
Tableau des donnees centrees $Y$
\[y_i^{(j)}=X_i^{(j)}=\bar X^{(j)}\\ Y=\begin{pmatrix} 4&-6&-10\\ -4&4&0\\ 0&8&4\\ 8&0&4\\ 4&-4&0\\ -12&-2&2 \end{pmatrix}\]3.
Matrice de var-covariance
$V=Y^TDY$ avec $D=\frac{1}{6}I_6$
\[\Rightarrow V=\frac{1}{6}Y^TY=\begin{pmatrix} \frac{128}{3}&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\ -\frac{16}{3}&\frac{68}{3}&\frac{44}{3}\\ -\frac{16}{3}&\frac{44}{3}&\frac{68}{3} \end{pmatrix}\]4.
Diagonalisation de $MV=V$
$M=I_3$: metriques de l’espaces des individus
$P_V(\lambda)=det(V-\lambda I_3)$ polynome caracteristiques de $V$
\[\begin{aligned} P_v(\lambda)&=\begin{vmatrix} \frac{128}{3}-\lambda&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\ -\frac{16}{3}&\frac{68}{3}-\lambda&\frac{44}{3}\\ -\frac{16}{3}&\frac{44}{3}&\frac{68}{3}-\lambda \end{vmatrix}\\ C_1\to C_1&+C_2+C_3\\ P_v(\lambda)&=(32-\lambda)\begin{vmatrix} 1&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\ 1&\frac{68}{3}-\lambda&\frac{44}{3}\\ 1&\frac{44}{3}&\frac{68}{3}-\lambda \end{vmatrix}\quad\text{par linearite}\\ L_2\to L_2-L_1&\text{ et }L_3\to L_3-L_1\\ P_v(\lambda)&=(32-\lambda)\begin{vmatrix} 1&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\ 0&28-\lambda&20\\ 0&20&28-\lambda \end{vmatrix}\\ &= (32-\lambda)((28-\lambda)^2-(20)^2)\\ &= (32-\lambda)(28-\lambda-20)(28-\lambda+20) \end{aligned}\\ \color{red}{\boxed{P_V(\lambda) = (32-\lambda)(8-\lambda)(48-\lambda)}}\]Les valeurs propres de $V$: $\lambda_1=48$, $\lambda_2=32$, $\lambda_3=8$ (ordre decroissant)
5.
Le $\%$ d’inertie
- Le $1^{er}$ axe: $\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{48}{88}=0,54 = 54\%$
- Le $2^{e}$ axe: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{32}{88}=0,36=36\%$
- Le $3^{e}$ axe: $\frac{\lambda_3}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{8}{88}=0,09=9\%$
Le plan factoriel: $\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{80}{88}=90\%$
6.
Les facteurs principaux sont les deux vecteurs propres associes aux valeurs propres $\lambda_1=48$ et $\lambda_2=32$.
\[E_{48}=Ker(V-48I_3)\\ \forall u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\in E_{48} \Leftrightarrow (V-48I_3)\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \vec 0\\ \begin{cases} -\frac{16}{3}x-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}z=0\\ -\frac{16}{3}x - \frac{76}{3}y+\frac{44}{3}z=0\\ -\frac{16}{3}x + \frac{44}{3}-\frac{76}{3}z=0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y+z=0\quad(1)\\ -16x-76y+44z=0\quad(2)\\ -16x+44y-76z=0\quad(3) \end{cases}\\ (2)-(3)\Rightarrow -120y+120z=0\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=z}}\\ (1)\Rightarrow\color{green}{\boxed{x=-2z}}\\ E_{48}=Vect(\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix})\quad\text{Droite vectorielle}\\ u^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{4+1+1}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}\\ \color{red}{u^{(1)}\text{ est norme}}\\ \Biggr\Vert\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}\Biggr\Vert=\sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}\\ E_{32}=Ker(V-32I_3)\\ \forall u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\in E_{32}\Leftrightarrow (V-32I+3)\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\vec 0\\ \begin{cases} 32x-16y-16z=0\quad(1)\\ -16x-28y+44z=0\quad(2)\\ -16x+44y-28z=0\quad(3) \end{cases}\\ \begin{cases} (2)-(3)&\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=z}}\\ (1)&\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=x}} \end{cases}\\ \color{red}{\boxed{E_{32}=Vect\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\quad\text{Droite}}}\\ u^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\quad\text{norme}\]$(u^{(1)},u^{(2)})$ base orthonormee
7.
Composantes principales
\[C^{(i)}=Yu^{(i)}\quad i=1,2\]La $1^{ere}$ composante:
\[\begin{aligned} C^{(1)}&=Yu^{(1)}=\begin{pmatrix} 4&-6&-10\\ -4&4&0\\ 0&8&4\\ 8&0&4\\ 4&-4&0\\ -12&-2&2 \end{pmatrix}\bullet \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 4\sqrt{6}\\ -2\sqrt{6}\\ -2\sqrt{6}\\ 2\sqrt{6}\\ 2\sqrt{6}\\ -4\sqrt{6} \end{pmatrix}\quad\text{variable centree} \end{aligned}\] \[C^{(2)}=Yu^{(2)}=\begin{pmatrix} -4\sqrt{3}\\ 0\\ 4\sqrt{3}\\ 4\sqrt{3}\\ 0\\ -4\sqrt{3} \end{pmatrix}\quad\text{variable centree}\]Remarque Ces composantes principales contiennent les projections des individus sur les 2 axes factoriels.
Calcul des coefficients de correlation:
\[\rho(X_1^{(1)}, C^{(1)})=\frac{Cov(X^{(1)},C^{(1)})}{\sigma_{X^{(1)}}\sigma_{C^{(1)}}}\\ Cov(X^{(1)},C^{(1)})=<y^{(1)},C^{(1)}>={y^{(1)}}^TD.C^{(1)}\quad\text{produit scalaire de l'espace des variables}\\ D=\frac{1}{6}I_6\quad\text{Metriques dans l'espace des variables}\\ \color{green}{\boxed{Cov(X^{(1)},C^{(1)}) = \frac{1}{6}{y^{(1)}}^TC^{(1)}}}\] \[\begin{aligned} Cov(X^{(1)},C^{(1)})&=\frac{1}{6}(16\sqrt{6}+8\sqrt{6}+16\sqrt{6}+8\sqrt{6}+48\sqrt{6})\\ &= \frac{96\sqrt{6}}{6}=\color{green}{\boxed{16\sqrt{6}}} \end{aligned}\\ \sigma_{X^{(1)}} = \sqrt{V(X^{(1)})} = \sqrt{\frac{128}{3}}\\ \begin{aligned} \sigma_{C^{(1)}}=\Vert C^{(1)}\Vert&=\sqrt{<C^{(1)},C^{(1)}>}\\ &= \sqrt{\frac{1}{6}(96+24+24+24+24+96)}\\ &=\color{green}{\boxed{4\sqrt{3}}} \end{aligned}\\ \rho(X^{(1)}, C^{(1)}) =\frac{16\sqrt{6}}{\sqrt{\frac{128}{3}}\bullet 4\sqrt{3}} = \color{green}{\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\]Tableau des correlations:
| $C^{(1)}$ | $C^{(2)}$ | |
|---|---|---|
| $X^{(1)}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}=0,87$ | $\frac{1}{2}=0,5$ |
| $X^{(2)}$ | $-\sqrt{\frac{6}{17}}=-0,59$ | $\frac{2\sqrt{34}}{17}=0,69$ |
| $X^{(3)}$ | $-0,59$ | $0,69$ |
Exercice 2
\[X=\begin{pmatrix} 2&2&3\\ 3&1&2\\1&0&3\\ 2&1&4\\ 2&1&3 \end{pmatrix}\]- Calculer $\bar{X^{(1)}}$, $\bar{X^{(2)}}$, $\bar{X^{(3)}}$ et le centre de gravite
- Calculer la matrice $Y$
- Calculer $V$
- Diagonaliser $V$ et calculer le $\%$ d’inertie
- Facteurs principaux et composantes principales
Solution
1.
\[P_i=\frac{1}{5}\quad\forall i\\ \bar{X^{(1)}}=2, \bar{X^{(2)}}=1, \bar{X^{(2)}}=3\\ g^T=(2,1,3)\]2.
\[Y=\begin{pmatrix} 0 &1&0\\ 1&0&-1\\ -1&-1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\]3.
\[V = Y^TDY\\ D = \frac{1}{5}I_5\\ \begin{aligned} V &= \frac{1}{5}Y^TY\\ &=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&0\\ -1&0&2 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ \begin{aligned} P_{Y^TY}(\lambda)&=\begin{vmatrix} 2-\lambda &1&-1\\ 1 &2-\lambda&0\\ -1&0&2-\lambda \end{vmatrix}\quad C_2\to C_2+C_3\\ &=\begin{vmatrix} 2-\lambda &0&-1\\ 1 &2-\lambda&0\\ -1&2-\lambda&2-\lambda \end{vmatrix}\quad L_2\to L_3-L_2\\ &= \begin{vmatrix} 2-\lambda &0&-1\\ 1 &2-\lambda&0\\ -2&0&2-\lambda \end{vmatrix}\\ &= (2-\lambda)((2-\lambda)^2-2)\\ &=(2-\lambda)(2-\lambda-\sqrt{2})(2-\lambda+\sqrt{2})\\ \end{aligned}\\ \begin{cases} \Gamma_1 = 2+\sqrt{2}\\ \Gamma_2 = 2\\ \Gamma_3=2-\sqrt{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \lambda_1=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\\ \lambda_2 = \frac{2}{5}\\ \lambda_3 = \frac{2-\sqrt{2}}{5} \end{cases}\] \[\%\quad\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3} = ?\]Facteurs principaux:
\[E_{2+\sqrt{2}}=Ker(Y^TY-(2+\sqrt{2})I) = Vect\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\\ \color{green}{\boxed{u^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{4}}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\1\end{pmatrix}}}\\ \%\quad\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3} = 90\%\quad\text{(inertie maximale)}\\ E_2=Ker(Y^TY-2I_3)=Vect\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\1\end{pmatrix}\\ \color{green}{\boxed{u^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\1\end{pmatrix}}}\]Composantes principales:
\[C^{(1)}=Yu^{(1)}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}\quad\text{centrees}\\ C^{(2)}=Yu^{(2}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 \end{pmatrix}\]