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Exercice 1
Soit $X$ et $Y$ deux v.a. telles que $Y=X^2$. La loi de $X$ est donnee par
| $X_i$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=X_i)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ |
- Determiner la loi du couple $(X,Y)$ (Loi conjointe)
- Determiner la loi de $Y$
- $X$ et $Y$ sont-elles independantes ?
- Calculer $Cov(X,Y)$
Solution
$Y=X^2$, $Y(\Omega)={0,1,4}$
1.
| $X/Y$ | $0$ | $1$ | $4$ | Loi de $X$ |
|---|---|---|---|---|
| $-2$ | $0$ | $0$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
| $-1$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ |
| $0$ | $\frac{1}{6}$ | $0$ | $0$ | $\frac{1}{6}$ |
| $1$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $\frac{1}{4}$ |
| $2$ | $0$ | $0$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
| Loi de $Y$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ |
- $P((X=i)\cap(Y=j)) = 0$ si $j\neq i^2$
- Avec $j=i^2$, $P((X=i)\cap(Y=i^2))=P(X=i)$
- car \(\underbrace{(X=i)}_{A}\subset\underbrace{(Y=i^2)}_{B}\)
- $A\cap B=A$
2.
Loi de $Y$ (Loi marginale)
D’apres le tableau $P(Y=0)=\frac{1}{6}$, $P(Y=1)=\frac{1}{2}$ et $P(Y=4)=\frac{1}{3}$
3.
Independance?
\[P((X=i)\cap(Y=j))=P(X=i)P(Y=j)\quad\forall (i,j)\] \[P((X=-2)\cap(Y=4))=\frac{1}{6}\\ P(X=-2)P(Y=4)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{18}\neq\frac{1}{6}\]$X$ et $Y$ ne sont pas indendantes
4.
\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\ E(XY)=\sum_{i,j}ijP((X=i)\cap(Y=j))\\ \color{red}{E(XY)=\sum_{i,j}ijP_{i,j}}\]| $X/Y$ | $0$ | $1$ | $4$ | Loi de $X$ |
|---|---|---|---|---|
| $-2$ | $0$ ($\times 0$) | $0$ ($\times -2$) | $\frac{1}{6}$ ($\times -8$) | $\frac{1}{4}$ |
| $-1$ | $0$ ($\times 0$) | $\frac{1}{4}$ ($\times -1$) | $0$ ($\times 0$) | $\frac{1}{6}$ |
| $0$ | $\frac{1}{6}$ ($\times 0$) | $0$ ($\times 0$) | $0$ ($\times 0$) | $\frac{1}{6}$ |
| $1$ | $0$ ($\times 0$) | $\frac{1}{4}$ ($\times 1$) | $0$ ($\times 4$) | $\frac{1}{4}$ |
| $2$ | $0$ ($\times 0$) | $0$ ($\times 2$) | $\frac{1}{6}$ ($\times 8$) | $\frac{1}{6}$ |
| Loi de $Y$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ |
\(E(X,Y)=-\frac{8}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{8}{6}=0\) \(\begin{aligned} E(X) &=\sum_ix_iP(X=x_i)\\ &=-\frac{2}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{6}=0 \end{aligned}\\ \Rightarrow \color{green}{Cov(X,Y)=0}\)
Exercice 2
$a\in\mathbb R^{*}_+$ $X,Y$ un couple de v.a. a valeurs dans $\mathbb N$
\[\underbrace{P((X=k)\cap(Y=j))}_{\text{Loi conjointe}}=\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\quad\forall (k,j)\in\mathbb N\]- Determiner $a$
- $X$ et $Y$ sont-elles independantes
- $Cov(X,Y)$
Solution
1.
\[\sum_{k,j}P_{k,j}=1\\ \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=1\\ a\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}=1\]Rappel
\(e^X=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{x^j}{j!}\\ X=1\quad\color{red}{e=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}}\\\)
Rappel (Serie geometriques)
\(\color{red}{\sum_{k=0}^{+\infty}X^n=\frac{1}{1-X}\quad\vert X\vert\lt1}\)
2.
Independance ?
\[P((X=k)\cap(Y=j))=P(X=k)P(Y=j)\]Loi marginale de $X$
\(\forall k\in\mathbb N\quad P(X=k)=\sum_{j=0}^{+\infty}P_{k,j}\) \(\begin{aligned} P(X=k)&=\sum_{j=0}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=\frac{a}{2^{k+1}}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}\\ &=\frac{ae}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}\\ \end{aligned}\\ \color{green}{P(X=k)=\frac{1}{2^{k+1}}\quad\forall k\in\mathbb N}\)
Loi marginale de $Y$
\[\forall j\in\mathbb N\quad\\ \begin{aligned} P(Y=j)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\\ &=\frac{a}{j!}\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\biggr(\frac{1}{2}\biggr)^k=\frac{a}{j!2}2=\color{green}{\frac{1}{ej!}} \end{aligned}\]La loi de $Y$:
\[\forall j\in\mathbb N\quad \color{green}{P(Y=j)=\frac{1}{ej!}}\]Independance ?
\[\begin{aligned} P(X=k)P(Y=j)=\frac{1}{2^{k+1}}\times\frac{1}{ej!}\\ P((X=k)\cap(Y=j))=\frac{1}{e2^{k+1}j!} \end{aligned}\Biggr\}=\text{ donc OK}\]3.
$X$ et $Y$ etant independantes donc $Cov(X,Y)=0$