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ISIM: Rappels

Posted Feb 18, 2021 Updated Oct 3, 2021 10 min read views

Lien de la note Hackmd

Optique et image

Dans ce cas:

  • Table
  • Observateur (cam)
  • Source lumineuse
    • rayons se propagent dans toutes les directions
    • eclaire la table
    • la table renvoie la lumiere qui est captee par l’observateur $\rightarrow$ source lumineuse secondaire

Qu’en est-il de la couleur ?

Quelles sont les couleurs primaires ?

  • RGB
  • RJB

Comment ca se fait que je vois la nape bleue ? Dans les rayons lumineux il y a des longueurs d’ondes.

La table filtre les longueurs d’onde et renvoie les rayons qui correspondent au bleu.

2 systemes:

  • Source primaire:
    • rajoute des couleurs
    • RVB
      • couleurs primaires
    • $\Rightarrow$ sysnthese additive
  • Objets qui renvoient la lumiere et en absorbe une partie:
    • enleve de la couleur
    • CMJ (Cyan, Magenta, Jaune)
      • complementaire aux couleurs primaires
    • $\Rightarrow$ sysnthese soustractive

Capture de l’image

Dans un appareil photo/oeil/camera:

  • Chambre noire
  • Pellicule/capteurs photosensibles
    • transforme la lumiere recue en energie
    • transforme la lumiere recue en teinte (ancien appareils photos)
  • Point image
    • image envoyee
  • Foyer
    • selectionne les rayons lumineux
  • Plan image
    • image recue a l’envers

Caracteristiques

  1. Zoomer ou dezoomer
    • En augmentant ou reduisant la distance focale
    • Zoomer: reduire le champ de vision (grande distance focale)
    • Dezoomer: augmenter le champ de vue (petite distance focale)
  2. Ouvrir ou fermer le diaphragme
    • Si ouvre
      • Plus de foyer unique
      • Image devient flou
      • On reduit la zone de nettete
      • Plus on ouvre le diaphragme, plus on reduit la profonder de champ
    • Si reduit le diaphragme
      • Plus de profondeur de champ
      • Moins de lumiere
    • Varier la taille de diaphragme
      • Peut etre une contrainte
      • Rendre l’arriere-plan flou
      • Jouer avec dans les images de synthese

Comment capturer l’image en pratique

Image en niveau de gris:

Probleme: on connait l’intensite en tout point mais pas pour toutes les longueurs d’onde, il faut la deduire via les voisins.

Pourquoi ces couleurs ?

C’est les couleurs primaires RVB. Pourquoi RVB?

Pourquoi plus de vert ?

Lie a la perception humaine, nos yeux sont plus sensibles au vert/jaune.

Pour un capteur virtuel, pour chacune des cellules on peut mesurer toutes les longueurs d’ondes pour RVB.

Formation de l’image

Pourquoi les couleurs primaires sont RVB ?

On a des capteurs dans nos yeux pour RVB.

Pourquoi on peut reconstituer toutes les couleurs a partir de RVB?

Si par exemple on voit une couleur jaune, nos capteurs vert et rouge sont stimules.

Codage de la couleur

Modele RGB

  • One code une couleur par la quantite de rouge, de vert et de bleu que contient cette couleur
    • Une couleur est alors un point du cube
  • Modele directement lie a notre perception

Le modele RGB est directement issue de notre perception des couleurs.

Generation d’une image synthetique

Geometrie Euclidienne

  • Produit scalaire: forme ilineaire, symetrique, definie positive
  • Espace pre-hilbertien $(E,\vert)$ reel
    • $E$: R-espace vectoriel
    • $\vert$: produit scalaire
  • Espace euclidien
    • Espace pre-hilbertien reel de dimension finie
  • Espace affine $\mathcal F$ de $E$ (e.v):
    • $\mathcal F$ s.e.v de $E$
    • Soit $A\in E, \forall x\in\mathcal F; A + x\in\mathcal F$
  • Cas particuliers:
    • Dim 0 $\Rightarrow$ un point
    • Dim 1 $\Rightarrow$ une droite affine
    • Dim 2 $\Rightarrow$ un plan affine
  • Repere cartesien de $\mathcal F : (O, B)$ avec $O$ un point de $\mathcal F$ et $B$ une famille de vecteurs de $\mathcal F$ formant une base de $\mathcal F$
  • Soir $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel, une norme $N$ sur $E$ est une application de $E$ dans $\mathbb R$ tel que:
    • $\forall u\in E, N(u) \ge 0$
    • $\forall u \in E, N(u) = 0 \Leftrightarrow u = 0$
    • $\forall (u,\lambda)\in (E\times\mathbb R), N(\lambda u) = \vert\lambda\vert N(u)$
    • $\forall(u,v)\in E^2,N(u+v)\le N(u)+N(v)$
  • Definition associee au produit scalaire:
    • $N(u)=\sqrt{u\vert u}$: norme euclidienne
  • Produit mixte:
    • $[u,v,w] = det(u,v,w)$
    • $= (u\times v).w$
    • Donne le volume du parallelepipede
  • Produit vectoriel;
    • $x;[u,v,w] = x.w(x=u\times v)$
    • $\Vert u\times v\Vert$ aire du rectangle
    • $\frac{1}{2}\Vert u\times v\Vert$ aire du triangle
  • Vecteurs et angles en euclidien
    • Produit scalaire: $u.v=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\cos(u,v)$
    • Produit vectoriel: $u\times v = \Vert u\Vert\Vert v\Vert\sin(u,v)$
    • $u.v = 0 \Leftrightarrow u$ et $v$ ortho
    • $(u.v)^2 + (u\times v)^2 = \Vert u\Vert^2\Vert v\Vert^2$

Equation de droites

  • 2D
    • Cartesienne: $y=ax + b$
    • Implicite: $ax+by+c=0$
    • Parametrique: $A+\lambda\overrightarrow v$
  • 3D
    • Cartesienne
    • Implicite
    • Parametrique: $A+\lambda\overrightarrow v$

Equation d’un plan

  • 3D
    • Cartesienne: $ax+by+cz+d=0$
    • Implicite
    • Parametrique
      • Prendre un point du plan et donner 2 vecteurs qui vont definir une base
      • $A+\lambda_1\overrightarrow v_1\lambda_2\overrightarrow v_2$

Equation d’un cercle/sphere

  • 2D/3D
    • Cartesienne: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$
    • Implicite
    • Parametrique \(\begin{cases} x &= a + r\cos(\theta)\sin(\lambda)\\ y &= b + r\sin(\theta)\cos(\lambda)\\ z &= c + r\sin(\lambda)\\ \end{cases}\)

Determinant

  • Utilite du determinant:
    • Equation de droite passant par ($x_1$, $y_1$) et $u(a,b)$ \(\begin{vmatrix} x-x_1 & a\\ y-y_1 & b\\ \end{vmatrix} = 0\)
    • Equation de droite passant par ($x_1$, $y_1$) et ($x_2$, $y_2$) \(\begin{vmatrix} x-x_1 & x-x_2\\ y-y_1 & y-y_2\\ \end{vmatrix} = 0\)
  • Idem pour l’equation d’un plan dans un espace 3D

Intersection

Intersection droite/plan

  • Droite: $P+t\overrightarrow v$
  • Plan: $ax+by+cz+d=0$ ou $\overrightarrow N.\overrightarrow X = d$
  • $\overrightarrow N.(P+t\overrightarrow v) = d$
  • $t_i = \frac{d-\overrightarrow N.P}{\overrightarrow N\overrightarrow v}$
    • Cas particulier si $d$ parallele au plan ($\overrightarrow N\overrightarrow v=0$)
  • $I=P+t_i\overrightarrow v$

Intersection droite/plan $\rightarrow$ droite\triangle

  • Verifier que $I$ est dans le triangle $ABC$
    • Exprimer $I$ en fonction de $A$, $B$ et $C$
      • Les coordonnees barycentriques doivent etre toutes positives
    • Determiner les de chaque cote du triangle
      • Determiner la position de $I$ vis a vis de chaque cote i.e $ax+by+c\lt0$ ou $ax+by+c\gt0$
    • Avec l’algorithme de Cyrus-Beck
    • En regardant l’orientation du sens de parcours

Intersection droite/sphere

  • Calcul de l’intersection dans le repere local ou global ?
  • Idem que pour le plan mais avec l’equation de la sphere. 3 cas possibles:
    1. Pas de solution (pas d’intersection)
    2. Solution double (la droite touche la surface de la sphere)
    3. Deux solutions distinctes (la droite traverse la sphere)
  • Distance point/droite
    • $d(p, D) = \frac{\vert ax_p + by_p + c\vert}{\sqrt{(a^2 + b^2)}}$
    • $d(p, D) = \frac{\vert\overrightarrow{AM}.\overrightarrow n\vert}{\Vert n\Vert}$
  • Distance point/plan
    • $d(p,P)=\frac{\vert ax_p+by_p+cz_p+d\vert}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}}$
    • $d(p, P) = \frac{\vert\overrightarrow{AM}.\overrightarrow n\vert}{\Vert n\Vert}$
  • Distance droite/droite $D_i(A_i, \overrightarrow{v_i})$
    • $d(D_1, D_2) = [\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_1}]/\Vert\overrightarrow{v_1}\overrightarrow{v_2}\Vert$
  • Distance sphere/sphere

Geometrie projective

  • Geometrie euclidienne
    • Etude des formes des “objets”
    • Invariance par rotation, tranlsation, reflexion
  • Geometrie projective
    • Etude des objets tel qu’ils sont vus
    • Perception des angles, des distances, du parallelisme distordu

Exemple avec des rails de train paralleles mais qui semblent se rejoindre au point de fuite:

N’allez pas aller vous faire renverser par un train

Dependant du point de vie, B est entre A et C ou A est entre B et C:

Projection sur le plan image

Dans l’espace, on ne prend pas l’objet entier mais juste une face. On trace une droite qui passe par le foyer et le sommet, on note l’intersection avec le plan image ce qui nous donne sa projection.

Point de fuite

Si on a une droite qu’on veut projeter sur le plan image, on prend le plan forme par la droite et le plan qui inclut le foyer de projection. Si on fait une intersection de ce plan avec le plan image, c’est exactement la projection de la droite sur le plan image en accord avec le foyer.

Horizon

Tous les points de fuite de droites paralleles sont alignees sur le l’horizon

Points a l’infini

On a l’ensemble de droites, si on les projettent on a undividuellement l’ensemble des points de la droite, avec une image et un antecedent sauf que si on prend une droit qui va suffisament loin on est parallele au plan objet.

On a le corollere dans l’autre sens: certains points appartiennent au plan parallele au plan image et passent par le foyer, ils ne peuvent pas etre projetes sur le plan image car leur droite ne coupe jamais le plan image.

On peut representer le plan projectif par un disque, l’ensemble de paralleles est represente par une seule droite sur ce disque.

Pour le rajouter sur le disque, on doit le “plier” pour que les extremites se rejoignent.

Coordonnees homogenes

Dans le plan

  • $RP^2$ est l’ensemble des triplets $[p] = [p_1, p_2, p_3]$ avec $(p1,p2,p3)$ dans $\mathbb R^3$ prive de $(0,0,0)$
  • Deux points $p$ et $q$ sont egaux si et seulement si il existe un $k$ dans $R^*$ tel que:
    • $p_1=kq_1$ et $p_2 = kq_2$ et $p_3=kq_3$

Deux cas:

  • $p_3 = 0$, $[p_1,p_2,p_3] = [p_1,p_2,0]\in RP^2$
  • $p_3 \neq 0$, $[p_1,p_2,p_3] =[p_1/p_3,p_2/p_3,1]\in RP^2$

Pourquoi s’embeter avec cette 3e coordonnes ? Si $p_3$ est a 0, on parle des points a l’infini.

Idem pour une droite projective et pour l’espace 3D.

Transformation usuelles

Representation des transformations usuelles dans l’espace projectif

  • Translation
  • Echelle
  • Rotation
  • Projection

Combinaison des transformations.

Translation

  • Euclidien: \(P + \begin{pmatrix} t_x\\ t_y \end{pmatrix}\)
  • Coordonnees projective: on a une coordonnees de plus \(\begin{pmatrix} x + t_x\\ y + t_y\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{pmatrix}\)

Si on passe en 3D, on a une matrice qui permet d’expliquer la translation en 3D: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Mise a l’echelle: \(\begin{pmatrix} S_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & S_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Rotation:

  • Suivant un axe canonique:
\[\begin{pmatrix} \cos & -\sin & 0 & 0\\ \sin & \cos & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
  • Suivant un axe quelconque:
\[\begin{pmatrix} x^2(1 - \cos) + \cos & xy(1-\cos)-z\sin & xz(1-\cos) + y\sin & 0\\ yx(1 - \cos) + z\sin & y^(1-\cos)+\cos & yz(1-\cos) - x\sin & 0\\ xz(1 - \cos) + y\sin & yz(1-\cos)+x\sin & z^2(1-\cos) + \cos & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Modelisation des rotations:

  • Specifier un ordre suivant les axes $O_x$, $O_y$ et $O_z$
  • Specifier l’axe de rotation
  • Utilisation des quternions
    • $Q=a+bi+cj+dk$
    • $a,b,c,d$ reels $\rightarrow$ $a$ partie reelle et $(b,c,d)$ partie imaginaire
    • $I^2=j^2=k^2=-1$
    • $i.j=k;j.k=i;k.i=j$
    • $j.i=-k;k.j=-i;i.k=-j$
    • Les quaternions unites (norme $(Q) = 1$) permettent une representation plus compacte de n’importe qu’elle rotation

Combinaisom des transformations

Rajouter une coordonnees nous permet d’exprimer l’ensemble des transfomrations sous forme d’un produit matriciel.

Image S8, ISIM
Image ISIM S8
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