La notion d’etat quantique

Espace des etats

Espace lineaire

Les etats purs sont la polarisation en selon $O_x$ et $O_y$

Pour decrire la polarisation d’un photon on utilise un espace lineaire, un espace vectoriel de dimension finie $\mathcal H$ dont les vecteurs de base correspondent aux etats purs.

On associe la base ${\vert x\rangle, \vert y\rangle}$ a $O_x$ et $O_y$.

Un etat de polarisation ${\vert\Phi\rangle}$ correspond a un vecteur appartenant a $\mathcal H$ : $\vert\Phi\rangle = \lambda\vert x\rangle + \mu\vert y\rangle$

On utilise la notation de Dirac.

Etat de polarisation

Il existe differents types de polarisation pouvant etre representes par un vecteur complexe.

$\mathcal H$ est un espace vectoriel complexe de dimension 2

Cela permet de prendre le conjugue d’un vecteur: $\overline{\vert\Phi\rangle} = \langle\Phi\vert = \bar\lambda\langle x\vert + \bar\mu\langle y\vert$

$\bar\lambda, \bar\mu$ : conjugues de $\lambda,\mu$

Produit scalaire

On peut ecrire une amplitude de probabilite comme un produit scalaire: $\langle\Psi\vert\Phi\rangle = \biggr(\bar\nu\langle x\vert + \bar\sigma\langle y\vert\biggr) + \biggr(\lambda\vert x\rangle + \mu\vert y\rangle\biggr) = \bar\nu\lambda\langle x\vert x\rangle + \bar\sigma\mu\langle y\vert y\rangle$

$\vert\Psi\rangle = \nu\vert x\rangle + \sigma\vert y\rangle$

Les vecteurs de bases sont orthogonaux entre eux et sont de norme unitaire: $\begin{matrix} \langle x\vert x\rangle = \langle y\vert y\rangle = 1 & \text{et} & \langle x\vert y\rangle = \langle y\vert x\rangle = 0 \end{matrix}$

On a donc: $\langle \Psi\vert \Phi\rangle = \bar\nu\lambda + \bar\sigma\mu = \overline{\langle \Phi\vert \Psi\rangle}$

Norme

La norme au carre d’un vecteur $\vert\Phi\rangle$ s’ecrit comme le produit scalaire de $\vert\Psi\rangle$ avec son conjugue $\langle\Phi\vert$: $\Vert\Phi\Vert^2 = \langle\Phi\vert\Phi\rangle = \vert\lambda\vert^2 + \vert\mu\vert^2$

Un etat physique represente par un vecteur doit etre normalise : $\Vert\Phi\Vert^2 = \langle\Phi\vert\Phi\rangle = \vert\lambda\vert^2 + \vert\mu\vert^2 = 1$

Espace de Hilbert

Un espace de Hilbert $\mathcal H$ est un espace vectoriel complexe pas forcement de dimension finie muni d’un produit scalaire; introduisant une norme, et complet.

Amplitude et probabilite

Calcul d’amplitude

Les etats de polarisation sont rpz par des vecteurs unitaires dans $\mathcal H$.

Un etat de polarisation rectiligne ou lineare selon $\theta$, note $\vert\theta\rangle$ s’ecrit: $\vert\theta\rangle = \cos\theta\vert x\rangle + \sin\theta\vert y\rangle$

On peut calculer l’amplitude de probabilite en utilisant la notation de Dirac pour qu’un photo polarise suivant $\theta$ traverse un polariseur oriente suivant $\alpha$: $\begin{aligned} \textbf{a}(\theta\to\alpha) &= \langle\alpha\vert\theta\rangle \\ &= \biggr(\cos\alpha \langle x\vert + \sin\alpha \langle y\vert\biggr)\biggr(\cos\theta \vert x\rangle + \sin\theta \vert y\rangle\biggr) \\ &= \cos\alpha\cos\theta + \sin\alpha\sin\theta\\ &= \cos(\theta - \alpha) \end{aligned}$

Probabilite

Suite au calcul precedent, la probabilite de traverser l’analyseur (probabilite de mesurer un photon polarisation selon $\alpha$) est: $\textbf{P}(\theta\to\alpha) = \cos^2(\theta - \alpha) = \vert\langle\alpha\vert\theta\rangle\vert^2$

La probabilite de trouver un etat $\vert\Phi\rangle$ dans un autre etat $\vert\Psi\rangle$ s’exprime selon: $\begin{matrix} \textbf{a}(\Phi\to\Psi) = \langle\Psi\vert\Phi\rangle & \textbf{et} & \textbf{P}(\Phi\to\Psi) = \vert\langle\Psi\vert\Phi\rangle\vert^2 \end{matrix}$

La mesure quantique

On reprend le systeme de polariseur/analyseur avec l’analyseur oriente selon $O_x$. Le polariseur ($\textbf{P}$) va prepare l’etat quantique puis l’analyseur ($\textbf{A}$) va tester sa polarisation. $\textbf{P}_s$ est la probabilite de sortie du photon de ($\textbf{A}$):

($\textbf{P}$) est selon $O_x$ : $\textbf{P}_s = 100\%\Rightarrow\text{Resultat : 1}$
($\textbf{P}$) est selon $O_y$ : $\textbf{P}_s = 0\% \Rightarrow\text{Resultat : 0}$
Polarisation arbitraire

Supposons que le polariseur est oriente selon la direction $\theta$ ou sa direction orthogonale $\theta_{\bot}$, on peut construire un systeme orthonorme de vecteur de base ${\vert\theta\rangle, \vert\theta_{\bot}\rangle}$ a partir de la base ${\vert x\rangle, \vert y\rangle}$: $\begin{matrix} \vert\theta\rangle = \cos\theta\vert x\rangle + \sin\theta\vert y\rangle & \textbf{et} & \vert\theta_{\bot}\rangle = -\sin\theta\vert x\rangle + \cos\theta\vert y\rangle \end{matrix}$

Le polariseur prepare le photon dans l’etat $\vert\theta\rangle$, on a donc: $\textbf{P}_s = \cos^2\theta$

Apres le passage du photon dans l’analyseur, son etat $\vert\theta\rangle$ devient $\vert x\rangle$.

La mesure modifie (ou perturbe) l’etat de polarisation.

Difference entre mesure classique et quantique

Il y a une difference de principe entre la mesure en physique classique et la mesure en physique quantique:

Cas classique: la quantite physique preexiste a la mesure
- Si une voiture est contolee a $180km.h^{-1}$, cette vitesse preexistait avant la mesure
Cas quantique: l’etat de polarisation $\vert\theta\rangle$ n’existait pas avant d’etre mesure.

Si on prend l’exemple de la voiture dans une version quantique, son etat de vitesse serait donne par la superposition d’un etat a $120km.h^{-1}$ et d’un autre a $180km.h^{-1}$.

La notion d’operateur

Comment un etat quantique peut se transformer sous l’effet d’operateurs de la forme de matrices de dimensions 2?

Principes

On peut formuler 2 principes a partir de l’analyse de la structure mathematique:

L’etat physique d’un systeme quantique est rpz par un vecteur $\vert\Phi\rangle$ appartenant a $\mathcal H$. $\vert\Phi\rangle$ est unitaire ($\Vert\Phi\Vert^2 = 1$) et est un vecteur d’etat du systeme quantique.
Soient $\vert\Psi\rangle$ et $\vert\Phi\rangle$ 2 etats physiques. L’amplitude de probabilite de trouver $Phi$ dans $Psi$ est $\textbf{a}(\Phi\to\Psi) = \langle\Phi\vert\Psi\rangle$. La probabilite pour $\Phi$ de reussir le test $\Psi$ est: $\textbf{P}(\Phi\to\Psi)=\vert a(\Phi\to\Psi)\vert^2 = \vert\langle\Psi\vert\Phi\rangle\vert^2$

Pour realiser le test on doit preparer le systeme dans l’etat $\vert\Phi\rangle$ puis on va tester le systeme qui va le mettre dans l’etat $\vert\Psi\rangle$.

Operateur de projection

Mesure et projection

Dans le test precedent on a fait une projection orthognale sur $\vert\Psi\rangle$

QUI : Le formalisme quantique du qubit