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Cours du 30 / 03
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angle = np.array([θ for θ in np.linspace(-np.pi/2,np.pi/2,7)])
shape1 = np.concatenate([np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)]),
np.array([[-0.5, -1, -1, -1], [1, 1, 0.5, 0]]),
np.array([[-0.5, 0], [-0.5, -1]])], axis=1)
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[[ 0. 0.5 0.866 1. 0.866 0.5 0. -0.5 -1. -1. -1. -0.5 0. ]
[-1. -0.866 -0.5 0. 0.5 0.866 1. 1. 1. 0.5 0. -0.5 -1. ]]
Matrice de rotation centrée en $(0, 0)$
\(R = \begin{bmatrix} cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \\ \end{bmatrix}\)
Propriétés
- Effectue une rotation de centre (0,0) et d’angle θ
- Déterminant = 1
- Matrice orthogonale $\rightarrow$ pas de déformation ni d’agrandissement de la forme (automorphisme orthogonal)
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θ = np.pi / 4
R = np.array([[np.cos(θ), -np.sin(θ)], [np.sin(θ), np.cos(θ)]])
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[[ 0.707 -0.707]
[ 0.707 0.707]]
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R @ shape1 # multiplication de matrices
- Matrice orthogonale donc (par définition) $R.R^T = \textrm{Id}$.
- La transposée est la rotation d’angle -θ puisque sinus est une fonction impaire.
Symétrie axiale
La symétrie horizontale tranformant (a,b) en (a,-b) est: \(Sx = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\)
Pour avoir un symétrie axiale par rapport à une droite passant par $(0,0)$ qui a un angle $\alpha$ :
- rotation pour mettre l’axe de symétrie a l’horizontale
- appliquer la symétrie horizontale
- faire la rotation inverse \(S = R_{-α}^{-1}\; Sx\; R_{-α} = R_α\;Sx\; R_{-α}\)
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def Rα(α):
return np.array([[np.cos(α), -np.sin(α)], [np.sin(α), np.cos(α)]])
Sx = np.array([[1, 0],[0,-1]])
θ = 70 * (2 * np.pi)/360 # 70 degrés
Rα(θ) @ Sx @ Rα(-θ) @ shape1
La rotation selon l’angle est :
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Rα(θ) @ Sx @ Rα(-θ)
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[[-0.766 0.643]
[ 0.643 0.766]]
Translation
La translation ne peut pas etre exprimée avec un produit matriciel car ce n’est pas une application linéaire : \(T(2\;\textbf{x}) \ne 2\; T(\textbf{x})\) Ce n’est pas non plus une transformation isométrique.
- Une translation est une addition : $T(\textbf{x}) = \textbf{x} + \textbf{v}_t$.
- On change la représentation des points pour exprimer les translations sous forme de produit matriciel : $\textbf{x} = (x_1, x_2)$ devient $\textbf{x} = (x_1, x_2, 1)$
La translation par le vecteur $(v_1, v_2)$ est : \(T(X) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & v_1\\ 0 & 1 & v_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)
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v = np.array([1,2])
T = np.identity(3) # matrice de translation
T[0:2,2] = v
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Matrice de translation:
[[1. 0. 1.]
[0. 1. 2.]
[0. 0. 1.]]
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shape1_3d = np.concatenate([shape1, np.ones((1, len(shape1[0])))], axis=0)
# rajoute une nouvelle dimension à la matrice pour la translation
T @ shape1_3d
La matrice inverse replacant la forme orange à sa position d’origine applique la transition $-\textbf{v} = (-1,-2)$. \(T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\) Ce n’est pas la transposée de T, T n’est pas orthogonale.
Il y a 2 types d’isométries :
- l’isométrie vectorielle ou automorphisme orthogonal : $\forall\, \textbf{x}, \;||\textbf{f}(\textbf{x})|| = \textbf{x}$ et conserve les angles
- l’isométrie geométrique : $\forall\, \textbf{a}, \textbf{b}, \; ||\textbf{f}(\textbf{a}) - \textbf{f}(\textbf{b})|| = ||\textbf{a} - \textbf{b}||$
La translation est une isométrie geométrique mais pas vectorielle, c’est un automorphisme orthogonal.