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Exercice 1
On considere la fonction differentiable
\[\begin{aligned} f:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto 3x^2+y^2 \end{aligned}\]- Representer les courbes de niveaux 2 et 4 de $f$ dans le plan euclidien
- A quel lieu correspond la condition $f(x,y)\le4$
- On s’interesse au probleme d’optimisation $(P)$ minimiser $f_0(x,y)=2x+y$ sujet a $3x^2+y^2\le4$. Representer la courbe de niveau de la fonction objectif qui correspond a la valeur optimale de $(P)$
- Comment trouver le point optimal correspondant a $(P)$? Faire le calcul
Solution
1.
\[f(x,y)=3x^2+y^2\\ \begin{aligned} \mathcal C_2&=\{3x^2+y^2=2\}\\ &= \{\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=1\} \end{aligned}\]Il s’agit de l’equation d’une elipse de:
- demi grand axe $a$
- demi petit axe $b$
Rappel
\[2\pi r\to\pi(a+b)\\ \pi r^2\to\pi a b\]Ellipse de:
- demi grand axe $\sqrt{2}$ sur $O_y$
- demi petit axe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ sur $O_x$
Ellipse de:
- demi grand axe $2$ sur $O_y$
- demi petit axe $\frac{2}{\sqrt{3}}$ sur $O_y$
Zoli dessin
2.
3.
\[\begin{aligned} (P) \quad\text{min} f_0(x,y)&=2x+y\\ 3x^2+y^2&\le4\Leftrightarrow \mathcal C_{\le 4}(f) \end{aligned}\] \[\mathcal C_0 = \{2x+y=0\}\\ \vec u=\binom{-1}{2}\\ \vec n=\binom{2}{1}\]
Pour minimiser, on part dans le sens inverse du vecteur normal.
Notre point optimal: $p^{*} = (x^{*}, y^{*})$
\[p*\in\mathcal C_4(f)\Leftrightarrow 3x^{*^2}+y^{*^2}=4\\ p*\in\mathcal C_{f_0^*}\Leftrightarrow 2x^*+y^*=f_0^*\]Le gradient d’une fonction en un point donne est orthogonal a la courbe de niveau qui passe par ce point la.
En $p^{*}$:
\[\nabla \vec f(p^*) = \lambda\vec n\\ \nabla \vec f(p^*) + \lambda\vec n = 0\quad\lambda \gt 0\] \[f(x,y)=3x^2+y^2\\ \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (6x, 2y)\\ \begin{aligned} \nabla f(p^* = (x^*, y^*)) = (6x^*, 2y^*) = \lambda\binom{2}{1}&\Leftrightarrow \begin{cases} 6 x^* = 2\lambda\\ 2y^* = \lambda \end{cases}\\ &\Leftrightarrow 6x^* = 4y^*\\ &\Leftrightarrow \color{green}{\boxed{y^* = \frac{3}{2}x^*}} \end{aligned}\\ \begin{aligned} 3x^{*^2}+y^{*^2} = 4\Rightarrow 3x^{*^2}+(\frac{3}{2}x^*)^2&=4\\ 3x^{*^2}+\frac{9}{4}x^{*^2}&=4\\ \frac{21}{4}x^{*^2}&=4\\ x^{*^2}&=\frac{16}{21} \end{aligned}\]Donc:
\[x^*=\frac{4}{\sqrt{21}}\quad\text{ou}\quad\color{green}{\boxed{-\frac{4}{21}}}\\ \text{et}\quad \color{green}{\boxed{y^*=-\frac{6}{\sqrt{21}}}}\]Exercice 2
On considere le probleme d’optimisation $(P)$ minimiser $f_0(x,y)=x+y$ sujet a $x+2y\le3,x\in B$ avec $B\in\mathbb R^2$ l’intersection de l’epigraphe de $x\mapsto-\sqrt{x}$.
- Dessiner le lieu admissible de $(P)$
- Representer la courbe de niveau $f_0$ qui realise le minimum de $(P)$
- Calculer le point optimal ainsi que la valeur optimale de $(P)$
Solution
Rappel: Epigraphe
Tout ce qu’il y a au-dessus du graphe de la fonction
\[\text{epi}(f) = \{(x,t)\vert t\ge f(x)\}\]1.
Avec la courbe $\mathcal C_0$:
Avec $p^{*}=(x^{*}, y^{*})$:
2.
Le vecteur normal au graphe va etre colineaire au vecteur normal de notre courbe de niveau.
Gradient de quoi ?
On est sur le graphe et pas la ligne de niveau
Est-ce qu’on peut exprimer le graphe comme ligne de niveau ?
Toutes les representations parametriques peuvent s’ecrire en representation implicite (l’inverse n’etant pas vrai)
Notre graphe de $y\mapsto-\sqrt{x}$ est:
\[\{(x,y) \text{ tq } y=-\sqrt{x}\}\\ \{(x,y)\text{ tq } \sqrt{x}+y=0\}\\ = \mathcal C_0(g)\]Avec:
\[\begin{aligned} g: \mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto \sqrt{x} + y \end{aligned}\]Condition d’optimalite: en $p^{*}=(x^{*}, y^{*})$,
\[\nabla g(p^*) = \lambda \vec n_0\\ \begin{aligned} \nabla g(x,y) &= (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y})\\ &= (\frac{1}{2\sqrt{x}}, 1) \end{aligned}\]En $p^{*}$:
\[\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x^*}} = \lambda\\ 1 = \lambda\\ \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \lambda =1\\ \frac{1}{2\sqrt{x^*}}=1\\ \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x^*=\frac{1}{4}\\ y^*=-\frac{1}{2} \end{cases} \end{aligned}\]Valeur optimale:
\[x^* + y^* = \frac{1}{4}-\frac{1}{2} = \color{green}{\boxed{-\frac{1}{4}}}\]