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OCVX: Differentielles

Lien de la note Hackmd

Bienvenue dans le merveilleux monde de la differentielle <3

Exemple

f(x)=ax2+bx+ca>0

f(x)=0=2ax+b

Point optimal:

x=b2a

Valeur optimale:

f=f(x)=a(b2a)2+b(b2a)+c=b24ab22a+c=b24a+c

On a envie de faire pareil pour f:RnRx=(x1,x2,...,xn)f(x)

Rappel

On dit que f:RR est derivable en x0 ssi limxx0f(x)f(x0)xx0 existe et est finie.

Si c’est le cas, f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0 est le nombre derive de f en x0.

f(x0) pente de la tangente au point (x0,f(x0)).

On peut reecrire le nombre derive comme f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h en posant h=xx0

Comment generaliser la notion de derivee pour f:RnR ?

En quoi c’est faux ?

limxx0f(x)f(x0)xx0Rn=limh0f(x)f(x0)xx0Rnϕ(t)=f(x1,...,xk+t,...,xn)=f(x+t(0,...0,1,0,...0))

On regarde ce qu’il se passe pour la ke coordonnee en “bloquant” les autres.

Pour f:RR, f(x0) existe f derivable en x0 f continue en x0

Exemple

f:R2R(x,y){xyx2+y2(x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)

On va regarder ϕx:tf((0,0)+t(1,0))ϕx(t)=f(t,0)=0tϕx(0)=0δfδx(0,0)

Idem pour y

ϕy:tf((0,0)+t(0,1))=f(0,t)=0tϕy(0)=0=δfδy(0,0)

Derivee directionnelle

Exemple

f:R2R(x,y)x2+y2

Que vaut la derivee selon v=(2,0) et x0=(1,0) ?

ϕ:tf(x0+tv)=f((1,0)+t(2,0))=f(1+2t,0)=(1+2t)2+02=4t2+4t+1ϕ(t)=4t2+4t+1ϕ(t)=8t+4phi(0)=Dvf(x0)=4Et De1=δfδx(x0)=2{D(2,0)f(x0)=4D(1,0)f(x0)=δfδx(x0)=2D'une maniere generale, Dαvf(x0)=αDvf(x0)

Si v=1 derivee en x0 en vecteur v derivee directionnelle en x0 selon v

Est-ce que les derivees directionnelles sont la solution ?

Est-ce que l’existence des derivees directionnelles en x0 selon tout vecteur vRn0 garantit la continuite ?

Exemple

f:R2R(x,y){y2xx0yx=0

En (0,0) selon v=(v1,v2)(0,0)

ϕ:tf(x0+tv)=f((0,0)+t(v1,v2))=f(tv1,tv2)ϕ(t)={(tv2)2tv1v10tv2v1=0ϕ(t)={tv22v1v0tv2v1=0ϕ(t)={v22v1v10v2v1=0ϕ(0)={v22v1v10v2v1=0 existe vR2{0}

Si on regarde le parametrage ψ:t(t2,t)

fψ(t)=f(ψ(t))=f(t2,t)={t2t2t00t=0

fψ n’est pas continue en 0 f n’est pas continue en 0

Nouvelle approche

On va changer l’angle d’attaque Pour f:RR, on a vu: f derivable en x0 limh0f(x0+h)f(x0)hf(x0+h)=f(x0)la variable c'est h+hf(x0)fonction lineaire par rapport a h+θa(h)hε(h)

Pour f:RR, f derivable en x0 f(x0+h)=f(x0)+hf(x0)dx0f avec dx0f:hhf(X0)+hε(h)

Exemple

f:RRxx2

En x0

f(x0+h)=(x0)2=x02f(x0)+2hx0fonction lineaire par rapport a hdx0f(h)=2hx0dx0h2x0hf(x0)+h2θa(h)h2h=hh00 f:RnRxxTx

En x0:

f(x0+h)=(x0+h)T(x0+h)=x0Tx0+x0Th+hTx0(hTx0)T=x0Th+hTh=x0Tx0f(x0)+2x0Th+hThθa(h)hTh=<h,h>=h2hThh=h2h=hh00

Et 2x0Th est lineaire (2x0T(h1+λh2))=2x0Th1+2λx0Th

Lien entre differentielle et vecteur gradient

f differentielle en x0, f admet des derivees selon tout vecteur hRn0, en particulier selon les vecteurs de la base canonique (e1,,en) toutes les derivees partielles δfδx(x0) existent

hRnh=(h1hn)h=i=1nhieidx0f(h)=dx0f(i=1nhiei){hiRieiRnf lineaire f(λx+μy)=λf(x)+μf(y)=i=1nhidx0f(ei)=i=1nhiDeif(x0)=i=1nhiδfδxi(x0)dx0f(h)=i=1nhiδfδxi(x0)=(δfδx1(x0),...,δfδxn(x0)x0fT)(h1hn)=x0fTh=<x0,h>

f differentielle en x0, dx0=<x0f,h>=x0fTh

Comment s’etend la differentielle pour f:RnRpx=(x1,...,xn)f(x)=(f1(x1,...,xn),...,fp(x1,...,xn))

f:RR3x(2x,x2,3x+2)

f differentiable en x0 f1,,fp sont differentiables en x0

f(x0+h)=(f1(x0+h)fp(x0+h))=(f1(x0)+dx0f1(h)+θa(h)fp(x0)+dx0fp(h)+θa(h))=(f1(x0)fp(x0))f(x0)+(dx0f1(h)dx0fp(h))?+θ(h)Rp

Les fi,i=1,,p sont des fonctions differentiables de RnR

dx0fi(h)=<x0fi,h>=x0fiTh=(δf1δx1(x0),...,δfnδxn(x0))h(dx0f1(h)dx0fp(h))Rp=(x0f1Thx0fpTh)Rp=((δf1δx1,...,δf1δxn)h(δfpδx1,...,δfpδxn)h)Rp=[δf1δx1,...,δf1δxnδfpδx1,...,δfpδxn]Rp×nmatrice jacobiennehRn

dx0f(h)=Jacx0f×h La differentielle de f:RnRp en x0 est l’application lineaire dx0f:hJacx0f×h f differentielle en x0, f(x0+h)=f(x0)+dx0dx0f application lineaire+θa(h)

  1. f:RR3dx0f:hhf(x0)
  2. f:RnRdx0f:h↦<x0f,h>=x0fTh
  3. f:RnRpdx0f:hJacx0f×h
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