Rappels de la seance precedente

description des sous espaces affine de $\mathbb R^n$
sous espaces vectoriels de $\mathbb R^n$
- $E\subset\mathbb R^n$
- $0_{\mathbb R^n}\in E$
Sous espace affine $A=x_0+E$, $E$ sous espace vectoriel et $x\in\mathbb R^n$

Un sous-espace affine n’est pas un sous-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel est un sous-espace affine.

\[\begin{aligned} (D) &= \{x\in\mathbb R^n, X_0+\lambda\vec u,\lambda\in\mathbb R\}\\ &= X_0+\{\lambda\vec u,\lambda\in\mathbb R\}\rightarrow\text{description parametrique} \end{aligned}\]

Description implicite

Description implicite: ensemble des points qui verifient une certaine equation

\[\begin{aligned} (D)=dx \text{ tel que } <&x,n>=0\\ &x^Tn=0 \end{aligned}\]

$\{x\text{ tel que } <x,n>=b\}\\ \text{si je sais que } x_0\in(D), <x_0,n>=b\\ \begin{aligned} \{x \text{ tel que }<x,n>=b=<x_0,n>&\}\\ <x,n>-<x_0,n>=0&\}\\ <x-x_0,n> = 0&\} \end{aligned}$

Description de parties de $\mathbb R^n$

Ecriture implicite

On se donne une fonction $\begin{aligned} f:\mathbb R^n&\to\mathbb R\\ x=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}&\mapsto f(x) \end{aligned}\\ \begin{aligned} &\mathcal C_0=\{x\in\mathbb R^n\vert f(x)=0\}\\ &\mathcal C_x=\{x\in\mathbb R^n\vert \underbrace{f(x)=x}_{g(x)=f(x)-r, \mathcal C_r(f)=\mathcal C_0(g)}\}\text{ courbe de niveau }x \end{aligned}$

Lieu de sous niveau $\mathcal C_{\le r}(f)=\{x\in\mathbb R^n\vert f(x)\le r\}$

Exemple

$\begin{aligned} f:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto x^2+y^2 \end{aligned}$

Question 3-10

$\begin{aligned} f:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto x^2+y^2 \end{aligned}\\ \begin{aligned} \mathcal C_0(f)&=\{(0,0)\}\\ \mathcal C_1(f)&=\{(x,y)\in\mathbb R^2 \text{ tel que } x^2+y^2=1\}\Rightarrow\text{ cercle de rayon } 1\\ \mathcal C_2(f)&=\text{ cercle de rayon }\sqrt{2} \end{aligned}$

\[\begin{aligned} g:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto x^2+4y^2 \end{aligned}\\\]

Equation d’une ellipse de demi grand axe $a$ et demi petit axe $b$

$\{(x,y)\in\mathbb R^2\text{ tel que } (\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1\}$

\[a=b=r\\ (\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2=r^2\]

$\begin{aligned} \mathcal C_0(g)&=\{(0,0)\}\\ \mathcal C_1(g)&=\{(x,y)\in\mathbb R^2 \text{ tel que } \underbrace{x^2+4y^2=1}_{(\frac{x}{1})^2+(\frac{y}{\frac{1}{2}})^2=1}\}\\ \mathcal C_2(g)&=\text{ de meme que }\mathcal C_1 \end{aligned}$

Question 3-11

Surface definie apr les 2 branches d’une hyperbole $y\mapsto\frac{1}{x}$

\[\{(x,y)\in\mathbb R^2, \underbrace{y=\frac{1}{x}}_{xy=1}\}\\ \begin{aligned} g:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto xy \end{aligned}\\ y\le\frac{1}{x}\Leftrightarrow yx\le1\]

Donc pour la decrire:

$\{(x,y)\in\mathbb R^2, xy\le1\}=\mathcal C_{\le1}(g)$

Ecriture parametrique

Exemples

$\begin{aligned} f:\mathbb R&\to\mathbb R\\ t&\mapsto f(t) \end{aligned}\\ graph(f)\subset\mathbb R^2\\ \{(t,f(t)),t\in\mathbb R\}\rightarrow\text{ ecriture parametrique}$

\[\begin{aligned} f:\mathbb R^2&\to\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto x^2+y^2 \end{aligned}\\ graph(f)=\{(x,y),f(x,y)),(x,y)\in\mathbb R^2\}\]

Definition

Soit $\begin{aligned} f:\mathbb R^n&\to\mathbb R\\ t&\mapsto f(t) \end{aligned}\\ graph(f)=\{(t,f(t)),t\in\mathbb R^n\}$

Avec une ecriture parametrique, on peut se ramener a une ecriture implicite

\[y=f(x)\Leftrightarrow f(x)-y=0\\ graph(f)=\{(x,f(t)),x\in\mathbb R\}\\ \begin{aligned} graph(f) &= \{(x,y),x\in\mathbb R,y=f(x)\}\\ &= \{(x,y), x\in\mathbb R\,\underbrace{f(x)-y}_{g(x,y)}=0\}\\ &=\{(x,y), g(x,y)=0\}=\mathcal C_0(g) \end{aligned}\]

Epigraphe (au-dessus du graphe) d’une fonction $f$

$Epi(f) = \{(x,t),t\ge f(x)\}$

Convexite dans $\mathbb R^n$

Parties convexes de $\mathbb R^n$

On va dessiner des patates et des haricots

Quelle forme est convexe ?

Si on prend 2 points quelconque de $A$ et qu’on trace ce segment, alors le segment est inclut dans $A$

$A$ est convexe et $B$ ne l’est pas.

Pour un segment entre $x$ et $y$, n’importe quel point de ce segments est une proportion du segment

$tx+(1-t)y, t\in[0;1]\\ \begin{aligned} t&=0\to y\\ t&=1\to x\\ t&= \frac{1}{2}\to\text{milieu de } [x,y] \end{aligned}$

A CONNAITRE

Definition: Une partie $A\subseteq\mathbb R^n$ est convexe si, et seulement si $\forall x,y\in A\\ \forall t\in[0;1]\\ tx+(1-t)y\in A$

Proprietes

tout intervall de $\mathbb R$ est convexe
les sous espaces affines/les demi espaces sont convexes

On a $A$ et $B$ convexes

$A\cap B\to$ convexe
$A\cup B\to$ en general pas convexe

Enveloppe convexe d’une partie $A\subseteq\mathbb R^n$

Si on a une forme non-convexe, on “bouche les trous” pour rendre la forme convexe et on obtient $conv(A)$

Intersection de tous les convexes qui $\supseteq$ $A$.

plus petit convexe qui $\supseteq$ $A$

Soit $A$ une partie de $\mathbb R^n$ $x$ un point du bord si $\forall\varepsilon\gt0, B(x,\varepsilon)\cap A\neq \emptyset$ $\to$ bord/frontiere $\delta A$

On appelle:

adherence de $A$, $\bar A=A\cup \delta A$
interieur de $A$, $\dot A=A \setminus\delta A$

\[A=[0;1[\to\begin{cases} \delta A = \{\{0\};\{1\}\}\\ \bar A = [0;1]\\ \dot A = ]0;1[ \end{cases}\]

Hyperplan d’appui

$A$ admet un hyperplan d’appui en $x\in\delta A$ Si on peut definir un hyperplan qui separe l’espace en deux demi espaces tels que $A$ tombe integralement dans l’un des deux.

$A$ admet un hyperplan d’appui de normale $\vec n$ en $x\in\delta A$ si, et seulement si, $\forall y\in A, <y-x,n>\le0$

Question 3-20

N’ayant pas d’hyperplan d’appui en un point donné de son bord:

Haricots $\to$ pas d’hyperplan d’appui en certains points de son bord.

Ayant plus d’un hyperplan d’appui en un même point: il faut un angle

Point anguleux $\to$ plusieurs hyperplan d’appuis en ce point la

N’ayant aucun hyperplan d’appui:

Pas d’hyperplan d’appui pour tous les points de bord.

Ayant un hyperplan d’appui en tous les points de son bord:

Pour tous les convexes

Une partie est convexe ssi on peut definir un hyperplan d’appui en tout point de son bord.

Fonction convexes

A CONNAITRE

Une fonction $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ est convexe ssi:

$Dom f$ est convexe
$\forall x,y\in Dom f$, $\forall t\in[0;1]$
- $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$

$f$ concave si $-f$ convexe.

Les droites affines sont les seules fonctions concaves ET convexes

Petit bestiaire de fonctions convexes:

$ax+b$
$e^{\alpha x}, \forall\alpha\in\mathbb R$
$ax^2+bx+c$, $a\ge0$
$-\log(x)=\log(\frac{1}{x})$
$\sqrt{x}$
$x^n$, $n$ pair

La somme ponderee positivement de fonctions convexes est une fonction convexe

$f_{i_{i\ge 0}},i=1,...,N\text{convexes}\\ f=\sum_{i=1}^N\omega_if_i\\$

Demonstration

$Dom f=\cap Dom f_i\to\text{ convexe}$

Soit $x,y\in Dom f$ et $t\in[0;1]$

$\begin{aligned} f(tx+(1-t)y)&=\sum_{i=1}^N\omega_i\underbrace{f_i(tx+(1-t)y)}_{\le tf_i(x)+(1-t)f_i(y)\text{ car } f \text{ convexe}}\\ &\le \sum_{i=1}^N\omega_itf_i(x) + \sum_{i=1}^N\omega_i(1-t)f_i(y)\\ &\le t\underbrace{\sum_{i=1}^N\omega_if_i(x)}_{f(x)} + (1-t)\underbrace{\sum_{i=1}^N\omega_if_i(y)}_{f(y)}\\ f(tx+(1-t)y)&\le tf(x)+(1-t)f(y) \end{aligned}$

$f=\max_{i=1,…,n}f_i$ est convexe
la composition d’une fonction convexe $f$ avec $g$ affine croissant $g\circ f$ est convexe

Lien entre partie convexe et fonction convexe:

L’epigraphe d’une fonction convexe est une partie convexe

Tous les lieux de sous niveaux d’une fonction convexe sont des parties convexes

En dimension 1:

OCVX: Parties de R et convexite