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Exercice 1
Considerons une variable aleatoire $X$ suivant une loi de Poisson de parametre $0, 2$.
- Calculer $P(X = 4)$.
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Solution
$P(X=4) e^{-0,2}\frac{0,2^4}{4!}=5,45\times10^{-5}$
$E(X)=0,2$
$V(X)=0,2$
Exercice 2
La variable aleatoire $U$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[2; 7]$. Calculer $P(U \in [3; 5])$ puis $E(U)$.
Solution
$P(U\in[3,5])=\frac{5-3}{7-2}=\frac{2}{5}$
$E(U)=\frac{a+b}{2}=\frac{2+7}{2}=4,5$
Exercice 3
La loi de Skellam est definie sur $N$ comme la difference de deux variables aleatoires independantes suivant des lois de Poisson $\mathcal P(\lambda_1)$ et $\mathcal P(\lambda_2)$ avec $\lambda_1 \ge 0$ et $\lambda_2 \ge 0$.
Soient $N_1$ et $N_2$ des variables aleatoires independantes suivant respectivement des lois de Poisson $\mathcal P(\lambda_1)$ et $\mathcal P(\lambda_2)$.
Par definition, la variable aleatoire $X := N_1 − N_2$ suit une loi de Skellam de parametres $\lambda_1$ et $\lambda_2$
- Montrer que $E(X) = \lambda_1 − \lambda_2$ et $V(X) = \lambda_1 + \lambda_2$
- Considérons un echantillon $(X_1, . . . , X_n)$ de la loi de $X$. Determiner, a l’aide de la methode des moments, des estimateurs des parametres $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
Solution
\[\begin{aligned} E(X) &= E(N_1-E(N_2))\\ &= E(N_1)-E(N_2)\\ &= \lambda_1-\lambda_2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} V(X) &= V(N_1-N_2)\\ &= \underbrace{V(N_1) + V(-N_2)}_{N_1\text{ et }N_2\text{ sont independantes}}\\ &= \lambda_1+(-1)^2V(N_2)\\ &=\lambda_1+\lambda_2 \end{aligned}\]On sait que
\[\begin{cases} E(X)=\lambda_1-\lambda_2\\ V(X)=\lambda_1+\lambda_2 \end{cases}\\ \begin{cases} E(X)=\lambda_1-\lambda_2\\ E(X) + V(X)=2\lambda_1 \end{cases}\\ \begin{cases} \lambda_2=\lambda_1-E(X)=\frac{V(X)-E(X)}{2}\\ \lambda_1=\frac{E(X)+V(X)}{2} \end{cases}\]D’ou, par la methode des moments:
\[\begin{cases} \hat\lambda_1=\frac{\bar X+S^2}{2}\\ \hat\lambda_2=\frac{S^2-\bar X}{2}\\ \end{cases}\]