PRST: Exercices de cours du 17/03

Lien de la note Hackmd

Les exos sont fait dans le meme ordre que pendant le cours

Exercice - loi normale

1. loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$ avec $\sigma=1$
2. densite $f(x,m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2}}$ pour $x\in\mathbb R$ et $m\in\mathbb R$
3. Déterminer l’EMV.

Solution

\[\begin{aligned} L(x_1,...,x_n)&=\Pi_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_i+m)^2}{2}}\\ &= \biggr(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggr)^ne^{-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-m)}{2}} \end{aligned}\]

Passons au logarithme.

Est-ce que la fonction est paire ? Oui car $\log$ est defini sur $\mathbb R^{+*}$.

\[\log(L(x_1,...,x_n,m))=-n\log(\sqrt{2\pi})-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-m)^2}{2}\]

Derivons par rapport a m:

\[\begin{aligned} \frac{\delta\log(L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m} &= -\sum_{i=1}^n\biggr[(-x_i)+m\biggr]\\ &= \sum_{i=1}^nx_i-nm\\ \end{aligned}\\ \begin{aligned}\\ \frac{\delta\log(L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m}=0&\Leftrightarrow\sum_{i=1}^nx_i-mn=0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i=m \end{aligned}\]

Verifions la condition du second ordre:

\[\frac{\delta\log(L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m}=-n\lt0\]

Donc la condition suffisante est verifiee.

$\hat m = \bar X$ est l’EMV du parametre $m$.

Exercice - loi geometrique

1. loi géométrique de paramètre $p$
2. $P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$ pour $x\gt1$ et $p\in]0;1[$
3. Déterminer l’EMV.

Solution

Soit $(x_1,…,x_n)\in\mathbb N^n_*$.

\[\begin{aligned} L(x_1,...,x_n,p)&=\Pi_{i=1}^np(1-p)^{x_i-n}\\ &=p^n(1-p)^{\sum_{i=1}^n(x_i-1)} \end{aligned}\\ \log(L(x_1,...,x_n,p))=n\log(p)+\sum_{i=1}^n(x_i-1)\log(1-p)\\ \frac{\delta\log(L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p}=\frac{n}{p}-\sum_{i=1}^n\frac{x_1-1}{1-p}\]

\[(\log u)'=\frac{u'}{u}\\ \Leftrightarrow \log (1-p) = -\frac{1}{1-p}\]

\[\frac{\delta\log(L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p} = 0\\ \begin{aligned} \frac{n}{p}=\sum_{i=1}^n\frac{x_1-1}{1-p}&\Leftrightarrow n(n-p)=p\sum_{i=1}^n(x_i-1)\\ &\Leftrightarrow n-np=p\sum_{i=1}^nx_i - np\\ &\Leftrightarrow p = \frac{n}{\sum_{i=1}^nx_i} = \frac{1}{\frac{n}{\sum_{i=1}^nx_i}} = \frac{1}{\bar X} \end{aligned}\\\]

\[(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}\]

\[(\frac{1}{1-p})'=-\frac{(-1)}{(1-p)^2}=\frac{1}{(1-p)^2}\]

\[\frac{\delta^2\log(L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p^2}=-\frac{n}{p^2}-\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-1)}{(1-p)^2}\lt0\]

Donc la condition suffisante est verifiee.

$\hat p =\frac{1}{\bar X}$ est l’EMV du parametre $p$.

Exercice - information de Fisher

Déterminer l’information de Fisher pour la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Solution

\[\log f(x,\lambda)=-\lambda+x\log(\lambda)-\log(x!)\\ \frac{\delta\log f(x,\lambda)}{\delta\lambda} = -1+\frac{x}{\lambda}\\ \frac{\delta^2\log f(x,\lambda)}{\delta\lambda^2}=-\frac{x}{\lambda^2}\\ \begin{aligned} E_n\biggr(\frac{\delta^2\log f(X,\lambda)} {\delta\lambda^2}\biggr)&=-E(\frac{X}{\lambda^2})\\ &=-\frac{1}{\lambda^2}\times\lambda=-\frac{1}{\lambda} \end{aligned}\\ I(\lambda)=-E\biggr(\frac{\delta^2\log f(x,\lambda)}{\delta\lambda^2}\biggr)=\frac{1}{\lambda}\]