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Exercice 14
Considerons une variable aleatoire $X$ suivant une normale centree reduite et une variable aleatoire $\varepsilon$ independante de la variable aleatoire $X$ telle:
\[P(\varepsilon=-1)=P(\varepsilon=1)=\frac{1}{2}\]Considerons la variable aleatoire $Y := \varepsilon X$.
- Montrer que la variable aleatoire $Y$ suit une loi normale centree reduite
- Calculer $Cov(X,Y)$
- Determiner la loi de la v.a. $X+Y$
- Si c’est trop difficile, calculer $P(X+Y=0)$
- En deduire que le vecteur aleatoire $(X,Y)^T$ n’est pas un vecteur gaussien.
- Bonus: determiner la fonction de repartition de $X+Y$
Solution
1.
Pour $Y\sim\mathcal N(0,1)$, il faut montrer que $Y$ suit la meme loi que $X$
Soit $a$ et $b$ deux reels tels que $a\le b$
\[\begin{aligned} P(Y\in[a;b]) &= P(\{Y\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=-1\}) + P(\{Y\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=1\})\\ &= P(\{-X\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=-1\}) + P(\{X\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=1\}) \end{aligned}\]Or les v.a. $\varepsilon$ et $X$ sont independantes
\[\begin{aligned} P(Y\in[a;b]) &= P(-X\in[a;b])\times P(\varepsilon=-1) + P(X\in[a;b])\times P(\varepsilon=1)\\ &= \frac{1}{2}P(-X\in[a;b]) + \frac{1}{2}P(X\in[a;b])\\ X&\sim\mathcal N(0,1)\\ \alpha X&\sim\mathcal N(\alpha m,\alpha\sigma^2)\\ &= \frac{1}{2}P(X\in[a;b]) + \frac{1}{2}P(X\in[a;b])\\ &= P(X\in[a;b]) \end{aligned}\]Y suit la meme loi que $X$ donc $Y\sim\mathcal N(0,1)$
Avec la fonction caracterisitique:
\[\begin{aligned} \phi_Y(X) &= E(e^{it\psi})\\ &= E(e^{-it\psi}\underbrace{𝟙_{\varepsilon=-1}}_{\text{fonction indicatrice}} + e^{it\psi}𝟙_{\varepsilon=1})\\ &= E(e^{-itX}𝟙_{\varepsilon=-1} + e^{itX}𝟙_{\varepsilon=1})\\ &= E(e^{-itX} ) E(𝟙_{\varepsilon=-1}) + E(e^{itX})E(𝟙_{\varepsilon=1})\\ \end{aligned}\]2.
\[\begin{aligned} Cov(X,Y)&=E(XY)-\underbrace{E(X)}_{=0}\underbrace{E(Y)}_{=0}\\ &=E(XY)=E(\varepsilon X^2) \end{aligned}\]Les v.a. $\varepsilon$ et $X$ sont independnates donc $\varepsilon$ et $X^2$ aussi.
\[Cov(X,Y)=E(\varepsilon)E(X^2)\\ E(\varepsilon)=\frac{1}{2}\times-1+\frac{1}{2}\times1 =0\]3.
\[P(X+Y=0)=P(X=-Y)=P(\varepsilon=-1)=\frac{1}{2}\\ P(X+Y=2X)=\color{red}{P(Y=X)}=P(\varepsilon =1)=\frac{1}{2}\]Ecrit “savamment”:
\[\delta_{a}(A)= \begin{cases} 0 &\text{si } a\not\in A\\ 1 &\text{si } a\in A \end{cases}\]Mais c’est pas ce qui nous interesse lul
4.
Deux types de v.a.: discrete et continue
Y n’est pas continue car la probabilite d’etre egale a un certain nombre et toujours egal a $0$. On cherche pas un nombre mais un intervalle.
- Si $X+Y$ etait gaussienne $P(X+Y=0)=0$ car dans le cas continue la probabilité d’un événement en particulier vaut toujours 0.
- D’apres la question precedente, $P(X+Y=0)=\frac{1}{2}$
- la combinaison lineaire $X+Y$ n’est pas guassienne donc le vecteur n’est pas gaussien
Bonus:
On pose $Z=X+Y$.
\[\begin{aligned} P(Z\le z)&= P(\{Z\le z\}\cap\{\varepsilon=-1\})+P(\{Z\le z\}\cap\{\varepsilon=1\})\\ &= P(\{0\le z\}\cap\{\varepsilon=-1\})+P(\{2X\le z\}\cap\{\varepsilon=1\})\text{ les v.a. sont independantes} \end{aligned}\]- Si $z=0$, $F_Z(z)=\frac{1}{2}\times F_X(\frac{z}{2})$
- Si $z\ge0$, $F_Z(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}F_X(\frac{z}{2})$