PRST: Les differentes lois

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Syllabus

1. Rappel sur les notions de probas elementaires
2. Rappel sur les variables scalaires

Generalites

• Etude d’experiences aleatoires
• Experience aleatoire: experience dont on ne peut prevoir l’issue a l’avance mais dont on connait toutes les issues possibles
• Alea vient du latin alea qui est un jeu de des

Situation elementaire

1. $n$ issues $\omega_1,…, \omega_n$
2. univers $\Omega={\omega_1,…, \omega_n}$
3. Proba d’occurence associee $p_1,…, p_n$
4. loi de proba: donnees des $p_i
5. Les probas $p_i$ sont positives et verifient: $p_1+…+p_n = 1$
6. evenements: sous-ensemble de $\Omega$
7. Probabilite d’un evenements: somme des probas des issues qui le realise

Exemple d’experience aleatoire:

• traverser la route et voir si on se fait ecraser ou non (Alexandre tu vas bien ?) $\rightarrow$ experience de Bernoulli a 2 issues

Quelles experiences aleatoire en informatique ? La duree de vie d’un composant electronique

Proprietes

• equiprobabilite: toutes les issues ayant la meme proba
• exercice: proposer une situation qui n’est pas equiprobable
• $A\cap B$: ensemble des issues qui realisent simultanement $A$ et $B$
• $A\cup B$: ensmeble des issues qui realisent au moins un des 2 evenemenents

Conditionnement

• Soient A et B evenements (supposons $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$)
• $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
• Formule de Bayes: $P_B(A) = \frac{P_A(B)\times P(A)}{P_A(B)\times P(A) + P_{\overline{A}}(B) \times P(\overline{A})}$
• $P(B) = P_A(B)\times P(A)+P_A(B)\times P(\overline{A})$

Demonstration

\(\begin{aligned} P_B(A) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\\ &= \frac{P_A(B)P(A)}{P(B)}\\ &= \frac{P_A(B)P(A)}{P_A(B)\times P(A) +P_A(B)\times P(\overline{A})} \end{aligned}\)

C’est une proba a posteriori, cad apres que l’experience ait eu lieu.

VA discrete

1. VA $X :$ fonction definie sur $\Omega$ et a valeurs dans $\mathbb R$
2. $X$ peut prendre les valeurs $x_1,…, x_n$
3. $\Omega$ sera “oublie” et on se concentrera sur les probas $p_i := P({\omega\in\Omega\vert X(\omega) = x_i}):= P(X=x_i)$
4. Loi d’une variable aleatoire: donnee par des reels $P(X=x_i)$
5. exercice: modeliser le gain a un jeu de Pile ou Face a l’aide d’une VA (gain de 100 euros si le “Pile” et perte de 80 euros si “Face”)
   • valeurs: 100 et -80
   • ex: si la piece tombe sur 2 on gagne 100 euros, sinon on en perde 80
   • $p_g = \frac{1}{6}$
   • $p_p = \frac{5}{6}$

Cf. Exercice 4

Prenons Clara et Nizar en cobayent avec leurs numero prefere

	Clara	Nizar
1	-10	30	20
2	50	-20	30
3	-10	30	20
4	-10	-20	-30
5	50	30	80
6	-10	-10	-20

• $x_1 = -10$
• $x_2 = 50$
• $y_1 = -20$
• $y_2 = -10$
• $y_3 = 30$

1. Attention, la definition des reels $p_i$ a change !
2. Esperance: $E(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i-\overline x)^2$
3. Variance: $V(X) = E(X - E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2$

Loi de Bernoulli

1. VA $X$ pouvant prendre les valeurs 0 et 1
2. proba de prendre la valeur 1 notee $p$
3. par consequent: $P(x=0)=1-p$
4. $E(X) = p\times1 + (1-p)\times 0 = p$ et $V(X) =E((X - E(X)^2)) = p(1-p)$
5. Loi notee $B(p)$

Loi binomial de parametre $n$ et $p$

1. some de $n$ variables independantes suivant une loi $B(p)$
2. Nombre de succes apres $n$ repetitions d’une experience de Bernouilli
3. VA $X$ pouvant prendre les valeurs entieres comprises entre 0 et $n$
4. $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in{0,…,n}$
5. Loi notee $B(n,p)$
6. $\binom{n}{k}$: coefficient binomial
7. $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$

• $\binom{4}{0} = 1$
• $\binom{4}{1} = 4$
• $\binom{4}{2} = 6$
• $\binom{4}{3} = 4$
• $\binom{4}{4} = 1$

Comment trouver de maniere maths ? On utilise le triangle de Pascal

• $\binom{6}{3} = 20$
• $\binom{3}{2} = 3$

Quels sont les elements remarquables sur le triangle de Pascal ?

• $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
• $\binom{n}{1} = \binom{n}{n - 1} = n$

Cf. Exercice 3

Loi binomial negative de parametre $n$ et $p$

1. aussi appelee loi de Pascal

Loi geometrique de parametre p

1. nombre d’essais avant le premier succes dans une repetition de tirages inde de Bernoulli
2. $p$ : probabilite de “Succes”
3. $X$ peut prendre toutes les valeurs entieres hormis 0
4. $P(X=k)=pq^{k-1}$ ou $q=1-p$
5. $E(X) = \frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{q}{p^2}$
6. Loi notee $G(p)$

C’est une loi sans memoire.

Qu’est-ce que ca veut dire ?

La loi geometrique est “sans memoire”, cad que les evenements passes n’influent pas les evenements futurs.

Cf. Exercice 14

Les 2 grandes lois sans memoire sont les lois:

• exponentielle
• geometrique

Loi Poisson de parametre $\lambda$

1. $X$ peut prendre toutes les valeurs entieres
2. $\lambda$ parametre strictement positif
3. $P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$
4. $E(X) = \lambda$ et $V(X) = \lambda$
5. loi notee $P(\lambda)$

Cf. Exercice 6

Cadre

1. $X$ definie sur l’univers $\Omega$ et a valeurs dans $\mathbb R$ ou dans un intervalle $I$
2. $P(X\in[a;b]) = \int_a^bf(x)dx$
3. fonction $f$ appelee la densite de la variable aleatoire $X$
4. Pour un reel $x$ donne: $P(X=x)=0$

Densite de probabilite

1. 2 conditions a connaitre
2. $f(x)\ge0$ pour tout reel $x\in I$
3. $\int_If(x)dx = 1$ (l’intervalle peut etre $\mathbb R$)

Fonction de repartition

1. Soit $X$ une variable aleatoire
2. $F_X(x) := P(X\le x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
3. Fonction de survie: $R_X(x) := P(X\gt x) = 1 - F_X(x)$

$\int_0^{+\infty}e^xdx$ a un sens dans $[0; +\infty]$

Esperance

• formule analogue au cas discret
• si $\int_f\vert x\vert f(x)dx\lt+\infty$

Variance

• Si $\int_fx^2\vert f(x)\vert dx\lt+\infty$ la VA $X$ est dite de carre integrable
• $V(X) = \int_f(x-E(X))^2f(x)fx$ est bien definie
• $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (theoreme de Koenig-Huyghens)
• $V(aX) = a^2V(X)$

Pour $X$ et $Y$

Tout depend de la dependance des variables, si $X$ et $Y$ sont independantes: $E(XY) = E(X)E(Y)$

Loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$

1. $f(x) = \frac{1}{b-a}$ pour $x\in [a;b]$ et $f(x) = 0$ pour $x\not\in[a;b]$
2. $P(X\in[c;d]) = \frac{d-c}{b-a}$ si $a\le c \le c\le d \le b$ et $a\lt b$
3. $E(X) = \frac{a+b}{2}$ et $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
4. Exercice: demontrer ce resultat puis calculer la fonction de reparatition associes
5. Notee $U([a;b])$

CF. Exercice 11

Loi exponentielle de parametre $\lambda\gt 0$

1. $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\ge 0$ et $f(x) = 0$ pour $x\lt0$
2. $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
3. $F(x) = 1-e^{-\lambda x}$ pour $x\ge 0$ et $F(x) = 0$ sinon
4. $R(x) = e^{-\lambda x}$ pour $x\ge 0$ et

Loi exponentielle

1. Loi notee $\varepsilon(\lambda)$
2. duree de vie d’un phenomene sans memoire
3. $\forall s\gt 0, \forall t \gt 0, P_{T\gt t}(T\gt s + t) = P(T\gt s)$

Loi normale centree reduite

1. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ pour $x\in\mathbb R$
2. $E(X) = 0$ et $V(X) = 1$
3. Loi notee $N(0;1)$

1. $P(X\le0)=P(X\ge0) = 0.5$
2. $P(X\le-a) = P(X\ge a)$
3. $P(-196\le X\le 1.96)\approx0.95$ et $P(-2,58\le X\le2.58)\approx 0.99$
4. Loi notee $N(0,1)$

Loi normale de parametre $\nu$ et $\sigma$

1. Loi notee $N(\nu,\sigma^2)$
2. $X$ suit une loi $N(\nu,\sigma^2)$ si $Y = \frac{X-\nu}{\sigma}$ suit une loi normale centree reduite

• $P(\nu-\sigma\le X\le \nu+\sigma)\approx0.68$
• $P(\nu-2\sigma\le X\le \nu+2\sigma)\approx0.95$
• $P(\nu-3\sigma\le X\le \nu+3\sigma)\approx0.997$