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Exercice 4
Demontrer les proprietes suivantes dans le cas discret: Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires definies sur un meme espace $\Omega$ et $\lambda$ un nombre reel.
Solution
Soit $\omega_1,…,\omega_n$ les issues i.e. $\Omega = {\omega_1;…;\omega_n}$
\[\begin{aligned} E(X\times Y) &= \sum_{\omega\in\Omega}(X(\omega) + Y(\omega))\\ &= \underbrace{\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)X\vert\omega\vert}_{=E(X)} + \underbrace{\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)Y\vert\omega\vert}_{=E(Y)}\\ &= E(X) + E(Y) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} E(\lambda X) &= \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)\lambda X(\omega)\\ &= \lambda\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega)\\ &= \lambda E(X) \end{aligned}\]Exercice 3
Determiner la loi $\mathcal B(3, \frac{1}{3})$
Solution
- $P(X = x_1) = \binom{3}{0}\times\frac{1}{3}^0\times\frac{2}{3}^3 = \frac{8}{27}$
- $P(X = x_2) = \binom{3}{1}\times\frac{1}{3}^1\times\frac{2}{3}^2 = \frac{4}{9}$
- $P(X = x_3) = \binom{3}{2}\times\frac{1}{3}^2\times\frac{2}{3}^1 = \frac{2}{9}$
- $P(X = x_4) = \binom{3}{3}\times\frac{1}{3}^3\times\frac{2}{3}^0 = \frac{1}{27}$
| $P(X)$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |
|---|---|---|---|---|
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ |
Exercice 14
Soit $X$ une variable aleatoire suivant une loi geometrique. Montrer que $P(X\gt n+k\vert X\gt k) = P(X\gt n)$ pour tous entiers naturels $k$ et $n$. Nous dirons que la loi geometrique est sans memoire.
Solution
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels.
\[\begin{aligned} P(X\gt n) &= \sum_{k\gt n} pq^{k-1}\\ &= pq^n + pq^{n+2} +...\\ &= pq^n(1+q+q^2+...) \end{aligned}\]Or $\sum_{k\ge0}q^k=\frac{1}{1-q}$ pour $0\le q\lt1$
D’ou:
\[P(X\gt n) = pq^n\times\frac{1}{1-q} = pq^n\times\frac{1}{p} = q^n\]Ainsi:
\[P(X\gt n+k\vert X\gt k) = \frac{P(\{X=n+k\}\cap\{x\gt k\})}{P(X\gt k)}\]Or ${X=n+k}\cap{x\gt k} = {X\gt n+k}$
D’ou:
\(P(X\gt n + k) = \frac{P(X\gt n + k)}{P(X\gt k)} = \frac{q^{n+k}}{q^k} = q^n = P(X\gt n)\)
Exercice 6
Considerons une variable aleatoire $X$ suivant une loi de Poisson de parametre 3
- Calculer $P(X=10)$
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$
Solution
\(P(X=10) = e^{-3}\times\frac{3^{10}}{10!}\\ E(X) = V(X) = 3\)
Exercice 11
La variable aleatoire $U$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[2;5]$. Calculer $P(U)\in[2;3]$ et $E(U)$
Solution
$P(U) = \frac{1}{3}$