PRST: Feuille 1 - Exercice, suite

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L’ordre des exos dans le cours est 3 $\to$ 9 $\to$ 15 $\to$ 16 $\to$ 13

Exercice 3

1. Déterminer la fonction caractéristique de la loi de Bernoulli de paramètre $p$.
2. Déterminer la fonction caractéristique de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Solution

1. $X\sim\mathcal B(p), E(e^{itx}) = p\times e^{it\times 1} + (1-p)e^{it\times 0} = 1-p+p e^{it}$
2. Soit $t\in\mathbb R$:

$$\begin{aligned} \phi(t) = E(e^{itX}) &= \int_0^{+\infty}e^{itx}\lambda e^{-\lambda x}dx\\ &= \lambda\int_0^te^{(it-\lambda)x}dx\\ \text{Soit } A\gt0: \int_0^Ae^{(it-\lambda)x}dx &= \biggr[\frac{1}{it-\lambda}e^{(it-\lambda)x}\biggr]_0^A\\ &= \frac{1}{it-\lambda}e^{(it-\lambda)A} - \frac{1}{it-\lambda}\times1\\ e^{(it-\lambda)A} &= \underbrace{e^{itA}}_{\le1 \text{ car bornee}}\times e^{-\lambda A}\\ \end{aligned}\\ \lim_{A\to+\infty} e^{-\lambda A} = 0$$

Car $\lambda\gt 0$. Par ailleurs $\vert e^{itA}\vert\le1$. Donc $\lim_{A\to+\infty}\frac{1}{it-\lambda} e^{-\lambda A} = 0$ d’ou $\lim_{A\to+\infty}\int_0^Ae^{(it-\lambda)x}dx = - \frac{1}{it-\lambda} = \frac{1}{\lambda - it}$.

Conclusion: $\int_0^{+\infty}e^{(it-\lambda)x}dx$ est bien definie et egale a $\frac{1}{\lambda - it}$

$\phi(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}$

Exercice 9

Dans une fabrication en série, 7% des produits présentent un défaut. 40 articles sont contrôlés

1. Que vaut la probabilité que 4 articles présentent un défaut?
2. Que vaut la probabilité que moins de 4 articles présentent un défaut?

Solution

Pourquoi peut-on considerer que chaque V.A. (echantillon) sont independantes les unes des autres ?

Comme c’est une fabrication en serie, c’est fait en tres grand nombre et un echantillon de 40 ne change rien.

Pour parler de loi binomiale, il faut que l’echantillon soit petit par rapport a la population.

$$\begin{aligned} P(X=4)&=\binom{40}{4}\times0,07^4\times4,96^36\simeq0,16\\ P(X\lt4)&=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\simeq 0,69 \end{aligned}$$

Exercice 13

Soient $\alpha$ un réel strictement positif et X une variable aléatoire dont la densité est définie par: $f_X(x) = \alpha x^{−\alpha−1}$ pour $x \ge 1$ et $f_X(x) = 0$ sinon.

1. Vérifier que $f_X$ est bien une densité de probabilité et déterminer la fonction de répartition associée
2. Calculer $P(0 \lt X \le 2)$,
3. Pour quelles valeurs de $\alpha$, la variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance? La calculer quand elle existe

Dans cet exercice, nous avons étudié la loi de Pareto de paramètre $\alpha$.

Solution

1. Montrons que $f_X$ est bien une densite.

$$\begin{aligned} &\text{i. } f_X(x)\ge0 \text{ par construction.}\\ &\text{ii. } \int_1^{+\infty}f_X(x)dx=1? \end{aligned}$$

Soit $A\gt0$:

$$\begin{aligned} \int_1^Af_X(x)dx=\int_1^A\alpha x^{-\alpha-1}dx &= \biggr[\frac{\alpha}{-\alpha}x^{-\alpha}\biggr]_1^A\\ &= [x^{-\alpha}]_1^A \end{aligned}$$

On sait que

$$lim_{A\to+\infty}A^{-\alpha}=lim_{A\to+\infty}\frac{1}{A^\alpha} = 0$$

D’ou

$$\int_1^{+\infty}f_X(x)dx=\lim_{A\to+\infty}\int_1^Af_X(x)dx = 1$$

Fonction de repartition:

$$F_X(x) = \int_1^x\alpha t^{-\alpha-1}dt = 1-x^{-\alpha}$$

2.

$$\begin{aligned} P(0\lt x\le2) &= P(1\le Y\le2) = \int_1^2\alpha x^{-\alpha-1}dx\\ &=[-x^{-\alpha}]_1^2 = 1-\frac{1}{2^\alpha} \end{aligned}$$

3.$\alpha\gt 1$

Exercice 15

Les œufs pondus par une poule ont une longueur pouvant être modélisée à l’aide d’une loi normale d’espérance 6 et d’écart-type 1,4. Quelle est la probabilité de trouver un oeuf:

1. d’une longueur supérieure à 8cm?
2. d’une longueur inférieure à 5cm?

Solution

1. Notons L la v.a. consideree $L\sim\omega(6,(1,4)^2)$, $Y=\frac{X-6}{1,4}\sim\mathcal N(0,1)$

$$\begin{aligned} 1-P(X\le8) &= 1-P(\frac{X-6}{1,4}\le \frac{8-6}{1,4}) \text{ Possible de le faire directement car 8 est positif}\\ &= 1-P(Y\le\frac{10}{7})\simeq1-P(Y\le 1,43) \end{aligned}$$

Cherchons 1,43 dans la table $\mathcal N(0,1)$

$$1-P(Y\le1,43)\simeq0,92\sim0,08$$

2.

$$\begin{aligned} P(X\lt5) &= P(Y\lt\frac{5-6}{1,4}) = P(Y\lt-\frac{1}{1,4})\simeq P(Y\lt-0,71)\\ &= 1-P(Y\lt0,71) \end{aligned}$$

D’apres la table de la loi $\mathcal N(0,1)$ $P(Y\lt0,71)\simeq0,76$ donc $P(Y\ge0,71)\simeq 0,24$ et $P(X\lt5) = P(Y\lt-0,71)\simeq0,24$

Exercice 16

Les composants d’un autoradio ont une durée de vie pouvant être modélisée par une loi normale d’espérance 2400 (heures d’utilisation) et d’écart-type 300. Un autoradio est utilisé, en moyenne, 1000 heures par an. Quelle est la probabilité qu’un composant ait une durée de vie supérieure à 3 ans?

Solution

Methode de professionnel:

Si $X$ suit une loi normale $N(\mu,\sigma^2)$

$P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\simeq0,68\\ P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\simeq0,95\\ P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\simeq0,997\\$

$$P(2400-2\times300\le X\le2400+2\times300) = P(1800\le X\le3000)\simeq0,95\\ Y=\frac{X-2400}{300}\sim\mathcal N(0,1)\\ P(X\gt3000)=P(\frac{X-2400}{300}\gt2)\Rightarrow1-P(Y\le2)\simeq1-0,977=0,023 \text{ le jeu des arrondis}$$