Lien de la note Hackmd
- $X_1$ suit une loi normale
- $S_n^{2*}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m)^2$
- $\frac{nS_n^{2*}}{\sigma^2}$ suit une loi $\mathcal X^2(n)$
A connaitre \(\begin{aligned} X_i&\sim\mathcal N(m,\sigma^2)\\ X_i-m&\sim\mathcal N(0,\sigma^2)\\ \frac{X_i-m}{\sigma}&\sim\mathcal N(0,1) \end{aligned}\)
\[P(\mathcal X^2_{\frac{\alpha}{2}} \le \frac{nS_n^{2*}}{\sigma^2} \le\mathcal X^2_{1-\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha\]
La loi $\mathcal X^2$ n’est pas symetrique.
L’intervalle de confiance au niveau $1-\alpha$ pour la variance $\sigma^2$ est:
\[[\frac{nS_n^{2*}}{\mathcal X^2_{1-\frac{\alpha}{2}}};\frac{nS_n^{2*}}{\mathcal X^2_{\frac{\alpha}{2}}}]\]- $X_1$ suit une loi normal
- $\bar X_n$ est un estimateur sans biais de $m$
- $S_n^2:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2$
- $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}$ suit une loi $\mathcal X^2(n-1)$
- \[P(\mathcal X^2_{\frac{\alpha}{2}} \le \frac{nS_n^{2}}{\sigma^2} \le\mathcal X^2_{1-\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha\]
L’intervalle de confiance au niveau $1-\alpha$ pour la variance $\sigma^2$ est:
\[[(n-1)\frac{s_n^{2}}{\mathcal X^2_{1-\frac{\alpha}{2}}};(n-1)\frac{s_n^{2}}{\mathcal X^2_{\frac{\alpha}{2}}}]\]