PRST: Feuille 2 - Exercice

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L’ordre des exos dans le cours est 6 $\to$ 4 $\to$ 15 $\to$ 19 $\to$ 18

Exercice 4

Montrer que la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Solution

$1^{ere}$ etape: Fonction caracteristique de $\mathcal B(n,p)$, Pour $k\in{0,1,2,…,n}$

\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

\[\begin{aligned} E(e^{itX})&=\sum_{k=0}^{n}e^{itk}P(X=k)\\ &= \sum_{k=0}^{n}e^{itk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k} = (pe^{it}+n-p) \end{aligned}\]

$2^e$ etape: Soient $X_1,…,X_n$ $n$ v.a. independantes de loi $\mathcal B(p)$

\[\begin{aligned} \phi_{X_1+...+X_n}(t) &= (\phi_{X_1}(t))^1\\ \phi_{X_1+...+X_n}'(t) &= (pe^{it} + 1 - p)^n \end{aligned}\]

Exercice 6

Exercice qui risque d’etre au partiel !

Soient deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois exponentielles de paramètres respectifs $\lambda1$ et $\lambda2$. Montrer que la variable aléatoire $min(X1; X2)$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda1 + \lambda2$.

Solution

On cherche:

\[\begin{aligned} Y&=min(X1, X2)\\ R_Y(x) &= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x} \end{aligned}\]

On pose $Y=\min(X_1,X_2)$. Par definition, pour $x\gt0$:

\[\begin{aligned} R_Y(x) &= P(Y\gt x)\\ &= P(min(X_1, X_2)\gt x) \end{aligned}\]

Point de logique: si le minimum est plus grand que $x$ alors les 2 sont plus grnads que $x$.

\[R_Y(x) = P(\{X_1\gt x\}\cap\{X_2\gt x\})\]

$X_1$ et $X_2$ sont independantes donc:

\[\begin{aligned} R_Y(x) &= P(X_1\gt X_2)P(X_2\gt x) = e^{-\lambda_1x}\times e^{-\lambda_1x}\\ &= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x} \end{aligned}\]

Conclusion: $Y\sim \xi(\lambda_1+\lambda_2)$

Exercice 15

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et suivant toutes deux une loi normale centrée réduite. Considérons les variables aléatoires $U = X + Y$ et $V = X − Y$

Solution

\[\begin{pmatrix} U\\ V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1\\ 1 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}\]

On pose:

\[A= \begin{pmatrix} 1 &1\\ 1 &-1 \end{pmatrix}\]

Toute combinaison lineaire de $U$ et $V$ es une combinaison de $X$ et $Y$, comme ce sont des vecteurs gaussien alors $(U,V)^T$ est un vecteur gaussien.

2.

\[\begin{aligned} E(U)&=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0 \\ E(V)&=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0\\ E(UV)&=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2) \end{aligned}\]

$X$ et $Y$ sont centrees. \(\begin{aligned} VM(X)&=E(X^2)-\underbrace{E(X)^2}_{=0}\\ E(X^2)&=E(Y^2)=1\\ E(UV)&=1-1=0\\ Cov(U,V)&=0-0=0 \end{aligned}\)

Exercice 18

Soit $X$ une variable aléatoire discrète de support $\mathbb N^*$ telle que, pour tout entier $k \ge 1$, \(P(X = k) = \frac{\alpha}{k!}\) pour un certain réel $\alpha$.

1. Déterminer le réel $\alpha$
2. Calculer $E(X)$ puis $E(X(X − 1))$. En déduire $V(X)$.

Solution

1. Par definition:

\[\sum_{k\ge 1}P(X=k)=1\]

\[\sum_{k\ge1}\frac{\alpha}{k!}=1 \Rightarrow\alpha\sum_{k\ge1}\frac{1}{k!}\]

Developpement limite de $e^z$, $z\in\mathbb R$:

\[e^{z}=\sum_{k\ge0}\frac{z^k}{k}=1\]

\[\begin{aligned} \sum_{k\ge1}\frac{1}{k!}&=\sum_{k\ge0}\frac{1}{k!}=e-1\text{ developpement limite.}\\ \sum_{k\ge1}P(X=k)&=\alpha(e-1)\\ \text{donc } \alpha(e-1)&=1\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{e-1} \end{aligned}\]

Notons que $\alpha$ est positif.

2.

\[\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k\ge1}X_{\alpha}P(X=k) = \sum_{k\ge1}\alpha\frac{k}{k!} = \alpha\sum_{k\ge1}\frac{1}{(k-1)!}\\ &= \alpha\sum_{j\ge0}\frac{1}{j!} = \alpha e = \frac{e}{e-1} \end{aligned}\]

Calculons $E(X(X-1))$:

\[\begin{aligned} E(X(X-1)) &= \sum_{k\ge1}k(k-1)P(X=k)\\ &= \sum_{k\ge1}k(k-1)\times\frac{\alpha}{k!}=\sum_{k\ge2}\frac{\alpha}{(k-2)!}\\ &= \sum_{j\ge0}\frac{\alpha}{j!}=\alpha e = \frac{e}{e-1}\\ E(X(X-1)) + E(X) &= E(X^2) \text{ donc } E(X^2)=2 \frac{e}{e-1}\\ V(X)&=2 \frac{e}{e-1}-\biggr(\frac{e}{e-1}\biggr)^2\\ &= \frac{2e(e-1)e}{(e-1)^2} = \frac{e^2-2e}{(e-1)^2} \end{aligned}\]

Exercice 19

Exercice qui risque d’etre au partiel !

Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur l’intervalle $[0; 1]$. On pose, pour tout entier $n \ge 1$, $M_n := max(U_1, . . . , U_n)$ et $X_n = n(1−M_n)$.

1. Soit $n \ge 1$. Déterminer la fonction de répartition de $M_n$ puis celle de $Xn$.
2. Montrer que la suite $(Xn)$ converge en loi.

Mael a 5 cousins bretons qui viennent du Morbihand…

Solution

1.Soit $x$ un reel.

\[\begin{aligned} P(M_n\le x) &= P(max(U_1, . . . , U_n)\le x) = P(\{U_1\le x\}\cap...\cap\{U_n\le x\})\\ &= \Pi_{k=1}^n P(\{U_k\le x\}) = (P(U_1\le x))^n\\ &= (F(x))^n \end{aligned}\]

ou F designe la fonction de repartition.

Fonction de repartition de la loi $U([0;1])$:

\[\begin{aligned} F(x)&= \begin{cases} 0 &\text{si } x\lt0\\ x &\text{si } x\in[0;1]\\ 1 &\text{si } x\gt1 \end{cases}\\ \int_0^x1dt &= x\\ F_n(x)=P(M_n\le x) &= \begin{cases} 0 &\text{si } x\lt0\\ x &\text{si } x\in[0;1]\\ 1 &\text{si } x\gt1 \end{cases}\\ G_n(x) = P(X_n\le x) &= 1-P(X_n\gt x)\\ &= 1-P(n(1-M_n)\gt x)\\ &= 1-P(1-M_n\gt\frac{x}{n}) = 1 - P(-M_n\gt\frac{x}{n}-1)\\ &= 1-P(M_n\lt1-\frac{x}{n})\\ &= \begin{cases} 1-0 &\text{si } 1-\frac{x}{n}\lt0\\ 1-(1-\frac{x}{n}) &\text{si } 0\lt1-\frac{x}{n}\lt1\\ 1-1 &\text{si } 1-\frac{x}{n}\gt1 \end{cases}\\ &= \begin{cases} 0 &\text{si } x\lt0\\ 1-(1-\frac{x}{n})^n &\text{si } x\in[0;n]\\ 1 &\text{si } x\gt1 \end{cases}\\ \end{aligned}\]

2.Quelle propriete du cours doit-on utiliser ?

Remarquons que:

\[\lim_{n\to+\infty}G_n(x)= \begin{cases} 0 &\text{ si } x\lt0\\ 1-e^{-x} \end{cases}\\\]

Il s’agit de la fonction de repartition de la loi $\xi(1)$

Donc $X_n\Rightarrow^{\text{loi}} \xi(1)$

$\lim_{n\to+\infty}(1+\frac{z}{n})^n = e^{z}$ pour tout reel $z$.