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Exercice du cours
Déterminer les estimateurs des paramètres $m$ et $\sigma$ 2 donnés par la méthode des moments pour une loi normale $N (m, \sigma^2)$.
Solution
\(E(\lambda) = \frac{1}{\lambda}\\ \lambda = \frac{1}{E(X)}\\ \hat\lambda=\frac{1}{\bar X_n}\)
$X_n\to^{P.S} \frac{1}{\lambda}$ loi forte des grand normbres
\[f:x\mapsto\frac{1}{x}, \mathcal C^{\gamma}\\ ]0;+\infty[\to\mathbb R\]Exercice 1
Determiner un estimateur convergent et sans biais du parametre $\lambda$ pour la loi de Poisson.
Solution
On sait que:
\[E(Y) = \lambda\]Donc l’estimateur d’ordre 1 de parametre $\lambda$ est:
\[\hat\lambda = \bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\]L’estimateur est sans biais et il est fortement convergent par la loi forte des grand nombres.
Exercice 2
Determiner un estimateur du parametre $\alpha$ pour la loi de Pareto par la methode des momets (cf. feuille1).
Solution
On sait que $E(X) = \frac{\alpha}{\alpha -1}$
\[\alpha -1E(X) = \alpha\\ \alpha(E(X)-1) = E(X)\\ \alpha=\frac{E(X)}{E(X) - 1}\\ \bar\alpha\frac{\bar X}{\bar X -1}\]Exercice 3
Determiner un estimateur du parametre $p$ pour une loi geometrique.
Solution
\[X\sim\mathcal E(p)\\ E(X) = \frac{1}{p}\\ \text{donc } p = \frac{1}{E(X)}\\ \bar p = \frac{1}{X}\]Exercice du cours
- loi de Pareto de parametre $\alpha$
- densite $f(x,\alpha)=\alpha x^{-\alpha-1}$ pour $x\gt1$ et $\alpha\gt0$
- Determiner l’EMV
Solution
\[\begin{aligned} L(x_1,...,x_n,\alpha)&=\Pi_{k=1}^nf(x_k,\alpha)\\ &= \Pi_{k=1}^n\alpha x^{-\alpha-1}\\ &= \alpha^n\Pi_{k=1}^nx^{-\alpha-1}\\ \log(L(x_1,...,x_n,\alpha)) &= n\log(\alpha)+\sum_{k=1}^n\log(xk^{-\alpha-1})\\ &= n\log\alpha-(\alpha-1)\sum_{k=1}^n\log(xk)\\ \frac{\delta L}{\delta\alpha} &= \frac{n}{\alpha}-\sum_{k=1}^n\log(x_k)\\ \frac{\delta L}{\delta\alpha} = 0 &\Leftrightarrow \frac{n}{\alpha}-\sum_{k=1}^n\log(x_k)=0\\ &\Leftrightarrow \alpha=\frac{n}{\sum_{k=1}^n\log(x_k)}\\ &\Leftrightarrow \alpha=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log(x_k)}\\ \frac{\delta^2L}{\delta\alpha^2}&=-\frac{n}{\alpha^2}\lt0\\ \hat\alpha &= \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log(x_k)} \Rightarrow\text{ EMV} \end{aligned}\]Exercice 6
Soit $X$ une varibale aleatoire suivant une loi uniforme sur $[0,\theta]$.
- Quelle est la densite de la variable aleatoire $X$ ?
- Quelle est son esperance ?
- En deduire un estimateur du parametre $\theta$ par la methode des moments
Solution
1.
\[f(x,\theta)= \begin{cases} \frac{1}{\theta} &\text{si } x\in[0,\theta]\\ 0 &\text{sinon} \end{cases}\]2.
\[E(X) = 0 + \frac{\theta}{2} = \frac{\theta}{2} \Rightarrow \theta=2\times E(X)\]3.
\[\hat\theta=2\bar X\]