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Exercice 1
Partie 1
Une variable aleatoire $X$ suit une loi normale de moyenne et de variance $1$. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : m = 0$ contre l’hypothese $H_1 : m \gt 0$.
Pour ce faire, nous disposons des observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0, 2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.
L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de $5\%$.
Solution
Sous l’hypothese $H_0$,
\[T = \sqrt{n} \frac{\bar X_n - m}{\sigma}\sim N(0,1)\\ t= \sqrt{10}\frac{0,48 - 0}{1}\simeq 1,55\]Zone de rejet:
\[\color{red}{R=}\{T\gt q_{0,95}\}\\ \{T\gt1,64\}\]Est-ce que $t$ appartient a notre zone de rejet ?
$t\not\in \color{red}{R}$ $\color{red}{\text{donc}}$ l’hypothese $(H_0)$ n’est pas rejetee.
Partie 2
Une variable aleatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : m = 0$ contre l’hypothese $H_1 : m \neq 0$.
Pour ce faire, nous disposons des memes observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0, 2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.
L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de $5\%$.
Solution
\[Z_n = \sqrt{n}\frac{\bar X_n - m_0}{\sqrt{S_n^2}}\sim T_{n-1}\\ S_n^2:= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2\]Ici,
\[t = \sqrt{10}\frac{0,49 - 0}{1,96}\simeq 0,79\]Zone de rejet: on rejette des 2 cotes
\[\{T\gt 2.26\}\cup\{T\lt \color{green}{-2.26}\}\\ R=\color{green}{\{T\gt q_{0,975}\}\cup\{T\lt q_{0,025}\}}\]Pourquoi on n’a pas besoin d’utiliser Python ?
Car c’est symetrique
$\color{green}{\text{Pas}}$ de rejet car $\color{blue}{t\not\in R}$
Partie 3
Une variable aleatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue et de variance $\sigma^2$. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : \theta^2 = 4$ contre l’hypothese $H_1 : σ^2 \lt 4$.
Pour ce faire, nous disposons des memes observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0, 2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.
L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejet´ee avec un risque d’erreur de premiere espece de $10\%$.
Solution
\[T = (n-1)\frac{S_n^2}{\sigma_0^2}=\boxed{\frac{1}{\sigma^2_0}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2}\]Sur l’echantillon,
\[t\simeq \frac{1}{4}\times 34, 55 = 8,64\] \[\begin{aligned} &P(T\lt t)\quad\text{ou } T\sim\chi^2(9)\\ &= P(T\lt 8,64)\\ &\simeq 0,53\color{orange}{\gt 0,1} \end{aligned}\]Comment resonne-t-on avec la P-value ?
Il faut que la P-value soit superieure ou egale
Donc l’hypotese $(H_0)$ n’est pas rejetee.
Exercice 2
Selon une etude, la duree des smartphones de la marque Pomme suit une loi exponentielle de parametre $\frac{1}{\theta}$ avec $\theta \gt 0$ inconnu.
Considerons un echantillon de taille $n$ que nous noterons $(X1,\dots,Xn)$. L’entreprise souhaite savoir si elle peut garantir ses telephones pour une duree de deux ans.
- Justifier que le probleme se ramene au test des hypotheses : $H_0 : \theta = 2$ contre $H1 : \theta \lt 2$.
- Francois propose la regle de decision suivante : L’hypothese $(H_0)$ est rejetee si $T \lt 2$ ou \(T = \min_{1 \le i\le n} Xi\).
- Justifier que la variable al´eatoire T suit une loi exponentielle dont le parametre sera precise.
- En deduire que, sous l’hypothese $(H_0)$, $P(T \lt 2) = 1 − \exp(−n)$.
- (a) Pour $n = 10$, determiner la valeur de $\alpha$.
- (b) De meme, pour $n = 100$, que remarquez-vous ?
- Que pensez-vous de la regle de decision retenue par Francois ?
Solution
1.
Comme le parametres est $\frac{1}{\theta}$, on veut affirmer sur la duree de vie moyenne $\theta$ est $2$ ans, et on aura un probleme si jamais elle est inferieure car $E(\varepsilon(\frac{1}{2}))=2$
2.
$H_0$ rejetee si $T\lt 2$ avec \(T:=\min_{1\le i\le n}X_i\)
3.
\[\begin{aligned} F(x)&=\int_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt\\ &= [-e^{\lambda y}]_0^x\\ &= -e^{-xt} + 1 = 1-e^{-xt} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} R(x) &= 1-F(x)\\ &=e^{-\lambda x} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} P(T&\gt x)\\ P(\min_{1\le i\le n}X_i&\gt x)\\ P(\bigcap_{i=1}^n\{X_i&\gt n\}) \end{aligned}\]Sous $H_0$:
\[\begin{aligned} P(T\gt x) &= \prod_{i=1}^nP(X_i\gt x)\\ &= P(X_1\gt x)^n\\ &= e^{-\frac{n}{\color{blue}{\theta}}x} \end{aligned}\]4.
\[\begin{aligned} P(T\lt 2) &= F(2)\\ &= 1-e^{-\frac{n}{2}\times 2}\\ &= \color{red}{1-e^{-n}} \end{aligned}\]5.
\[\begin{aligned} \alpha &= P(\text{Rejeter }H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(T\lt 2\vert \theta=2)\\ &= \color{red}{\boxed{1-e^{-n}}} \end{aligned}\\ n = 10\\ \alpha\simeq = 0.9999\]6.
Rien qu’avec $n=10$, on a un $\alpha$ extremement eleve, la regle est donc NULLE.
Test GLR
\[\color{red}{H_0:\theta = 2\text{ contre } H_1:\theta\lt 2}\] \[T=\frac{L(X_1,\dots, X_n,2)}{L(X_1,\dots, X_n,\hat\theta)}\]Soit:
\[\color{red}{H_0:\frac{1}{\theta} = \frac{1}{2}\text{ contre } H_1:\frac{1}{\theta}\lt \frac{1}{2}}\] \[\begin{aligned} T&=\frac{L(X_1,\dots, X_n,\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}})}{L(X_1,\dots, X_n,\frac{1}{2})}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}}e^{-\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}} X_i}}{\prod_{i=1}^n\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}X_i}}\\ &= (\color{green}{\frac{2}{\bar X_n}})^ne^{-\sum_{i=1}^n(\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}}-\frac{1}{2})X_i} \end{aligned}\]L’hypothese $(H_0)$ est rejetee si $T\gt S_{\alpha}$.
Nous allons utiliser Wilks.
Pour $n$ suffisamment grand:
\[\{R\sim\chi^2(1)\}\]