PRSTA: Seance 1

• Point de depart: hypothese formulee sur la population totale
• Jugement sur echantillon
• Tests d’hypothese

2 hypotheses:

• hypothese nulle notee $H_0$
• Situation de reference
• Hypothese soumise au test
• hypothese alternative notee $H_1$

Objectif: prise de decision a partir des donnees de l’echantillon

Ecarts eventuels entre l’echantillon et la population du au hasard de l’echantillonage

Types de tests

• Test parametrique/non-parametrique
• Test d’adequation
• Est-ce que 2 valeurs sont egales ?
• Test de comparaison

Point de depart

1. En cas de rejet de l’hypothese nulle
2. Les ecarts sont dits significatifs

Plusieurs interpretation:

• Loi de distribution inadaptee
• Echantillon non homogene
• Melange des populations avec des caracteristiques differentes
• Ecart du a des variations
• Echantillonnage pas effectue au hasard

Que faire ?

• isoler des echantillons plus homogenes
• preiciser les facteurs de variation influant sur les observations

Si l’hypothese pas nulle n’est pas rejetee

• Elle n’est pas demontree pour autant
• Elle n’est pas contredite par les faits

Exemple grossier

1. Dans une foret, il y a $20\%$ de serpents venimeux
2. Francois preleve $100$ serpents et $38$ sont venimeux
3. Intervalle de fluctuation au seuil $0.95$

\[\biggr[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\biggr] = [0.10; 0.30]\]

Theoreme Pour $95\%$ des echantillons, la proportion $f$ appartient a cet intervalle sous les conditions suivante:

1. $n\ge30$
2. $np\ge5$
3. $n(1-p)\ge5$

• $f=0.38\not\in[0.10;0.30]$
• On peut en deduire:
• Echantillon non representatif
• Variations pas dues au hasard

Assertion sur la foret fausse ?

Autre exemple

• $x_1,\dots,x_n$ observations provenant d’une loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$
• $\sigma^2$ suppose connu
• $n$ quelconque, variables aleatoires normales

\[\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar X-m)\sim\mathcal N(0,1)\\\]

Qu’est-ce qu’on doit retenir ?

Un truc qui depend de l’echantillon $\mathcal N(0,1)$ ne depend plus du parametre, on peut s’amuser sans connaitre $m$

La loi ne depend pas du parametre

On va tester:

• $H_0:m=m_0$
• $H_1:m\neq m_0$

Prenons les etudiants d’Epita. Leur taille suit une loi normale de moyenne $1.70m$ et variance $0.05m$

• $H_0:m=1.7$
• $H_1:m\neq1.7$

Hypothese $(H_0)$

\[\frac{\sqrt{n}(\bar X_n-m_0)}{\sigma}\]

suit une loi normale centree reduite.

D’apres les cours precedents \(\mathbb P(-1,96\le\frac{\sqrt{n}(\bar X_n-m_0}{\sigma}\le1,96)\simeq0,95\)

1. Calculons $\bar x$ sur l’echantillon
2. Si $\frac{\sqrt{n}(\bar x-m_0)}{\sigma}\in[-1,96;1,96]$, l’hypothese $H_0$ est rejetee au seuil de signification $\alpha=5\%$
3. Sinon l’hypothese est acceptee

Seuil de signification $\alpha$:

• Proba de rejeter l’hypothese nulle lorsque celle-ci est vraie
• Appele risque de premiere espece
• cf faux negatifs en medecine
• Test covid negatif en etant malade

Le risque de deuxieme espece $\beta$ est l’inverse

• Proba d’accepter l’hypothese nulle lorsqu’elle est fausse

On ne peut pas baisser un risque sans augmenter l’autre

Region critique C’est la region ou on accepte

Test de comparaison d’une proportion

• Meme principe pour $n$ grand
• $\sqrt{n}\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$ suit approximativement une loi normale centree reduite

1. Test bilateral $H_0:m=m_0$ et $H_1:m\neq m_0$
2. Test unilateral $H_0:m=m_0$ et $H_1:m\lt m_0$
3. Zone de rejet et region critique different

Exemples

Premier exemple

• $X$ suit une loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$ avec $\sigma^2$ connu
• Test bilateral $H_0:m=m_0$ et $H_1:m\neq m_0$
• Statistique $Z_n:=\sqrt{n}\frac{\bar X_n-m_0}{\sigma}$

Sous l’hypothese $(H_0)$, $Z_n$ suit une loi normale centree reduite.

• Zone de rejet: $]-\infty;z_{1-\alpha}[\cup]z_{1-\alpha;+\infty}[$
• Region critique

\(\biggr\{\frac{\sqrt{n}\vert \bar X_n-m_0}{\sigma}\gt z_{1-\alpha}\biggr\}\)

• $z_{1-\alpha}$: fractile d’ordre $1-\alpha$ de la loi normale centree reduite

Second exemple

• $X$ suit une loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$ avec $\sigma^2$ inconnu
• Test unilateral $H_0:m=m_0$ et $H_1:m\lt m_0$
• Statistique

\[T_n=\sqrt{n}\frac{\bar X_n-m_0}{\sqrt{S_n^2}}\]

Sous l’hypothese $(H_0)$, $\mathcal T_n$ suit une loi $T_{n-1}$

• Zone de rejet: $]-\infty;-t_{1-\alpha}[$
• Region critique:

\(\biggr\{\sqrt{n}\frac{\bar X_n-m_0}{\sqrt{S_n^2}}\le =t_{1-\alpha}\biggr\}\)

• $t_{1-\alpha}$: fractile d’ordre $1-\alpha$ de la loi de Student a $n-1$ degre de liberte

Methode de la valeur critique

• Methode due a Neyman et Pearson
• Approche ensembliste
• Ensemble des valeurs observees de la stat du test provoquant un rejet
• Zone de rejet
• Complementaire de cet ensemble: zone de non-rejet
• valeur separant ces 2 ensembles valeur critique

Methode de la proba critique

• $\alpha$ est fixe
• proba critique ou $P_{valeur}$: plus petite valeur du risque d’erreur pour laquelle la decision serait de rejeter $H_0$
• Si $P_{value}\le\alpha$, $H_0$ est rejetee
• Si $P_{value}\gt\alpha$, pas de raison de rejeter $H_0$ au risque de premiere espece $\alpha$

Exemple

Duree de vie des ampoules fabriquees par un industriel

• $H_0:m=8000$
• $H_1:m\neq8000$
• $\alpha=5\%$

On a un echantillon de $100$ ampoules.

\[Z_n:=\sqrt n\frac{\bar X_n-m_0}{\sqrt{S_n^2}}\]

suit approximativement une loi normale centree reduite

• $P_{value}=\mathbb P(Z_n\lt -1.51)\simeq0.0655$
• $P_{value} \gt\alpha$, pas de raison de rejeter l’hypothese $(H_0)$