PRSTA: Seance 2

Lien de la note Hackmd

Regle d’echantillon A partir de nos observations, on decide si on rejette l’hypothese nulle ou non

Retour de la taille des epiteens: on rejette cette hypothese s’il y a un eleve qui fait plus de $1m70$.

Risque de premiere espece $H_0$ soit vrai

Risque de second espece $H_1$ soit vrai alors qu’on garde $H_0$

Types de test

• test parametriqueon-parametrique
• test d’adequation
• test de comparaison

Si l’hypothese nulle n’est pas rejetee:

• Elle n’est pas demontree pour autant
• Elle n’est pas contredite par les faits

Test de comparaison d’une proportion

• Meme principe pour $n$ grand

\[\sqrt{n}\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\]

Test du rapport de vraisemblance

• $H_0:\theta=\theta_0$ contre $H_1:\theta=\theta_1$
• $\theta_0\lt\theta_1$

Test de vraissemblance qui est le plus puissant

\[T=\frac{L(X_1,...,X_n, \theta_1)}{L(X_1,...,X_n, \theta_0)}\]

Rejet de $(H_0)$ ssi $T\gt S_{\alpha}$, ou $S_{\alpha}$ est un seuil qui depend du niveau de confiance $\alpha$

Example

• $X_i$ Poisson de parametre $\lambda$
• $H_0:\lambda=\lambda_0$ contre $H_1:\lambda=\lambda_1$
• $\lambda_0\le\lambda_1$

Rejet de $H_0$ si

\[\frac{\Pi_{i=1}^ne^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1^{X_i}}{X_i!}}{\Pi_{i=1}^ne^{-\lambda_0}\frac{\lambda_0^{X_i}}{X_i!}}\gt S_{\alpha}\\ -n(\lambda_1-\lambda_0)+\sum_{i=1}^nX_i(\log(\lambda_1)-\log(\lambda_2))\gt\log S_{\alpha}\\ \sum_{i=1}^nX_i(\log(\lambda_1)-\log(\lambda_0))\gt \log(S_{\alpha})+n(\lambda_1-\lambda_0)\\ \sum_{i=1}^nX_i\gt\underbrace{\frac{\log(S_{\alpha})+n(\lambda_1-\lambda_0)}{(\log(\lambda_1)-\log(\lambda_0))}}_{\color{blue}{n\alpha}}\]

Rejet de $H_0$ si $\sum_{i=1}^n{x_i} > \nu_{\alpha}$

Exemple:

• $n=2$, $\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$, $\alpha=0,05$
• Sous $H_0$, $Y=X_1+X_2$ suit une loi $\mathcal P(2)$
• Si $\mu_{\alpha}\in]0;1]$, $\mathbb P(X_1+X_2\gt\mu_{\alpha})=1-\mathbb P(Y=0)\simeq 0.865$

Suite de l’exemple precedent

Rappel :

• fonction caractérique (SAVOIR FAIRE) d’une loi X est $\phi(t) = E(e^{itX})$
• Pour une loi de Poisson, $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

\[\begin{aligned} \phi_x(t)&=\sum_{k\ge0}e^{itk}P(X=k)\\ &= \sum_{k\ge 0}e^{itk}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\ &= e^{-\lambda}\sum_{k\ge 0}\frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} \text{ : serie}\\ &=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}} \end{aligned}\\ \color{red}{\boxed{\phi_x(t)=e^{\lambda (e^{it}-1)}}}\]

Loi de $X_1+X_2$ ?

\[\phi_{X_1+X_2}=\phi_{X_1}(t)\phi_{X_2}(t)\]

car $X_1$ et $X_2$ sont independantes Or $X_1$ et $X_2$ même loi donc même fonction caractérique, donc: \(\begin{aligned} \phi_{X_1+X_2}&=\phi_{X_1}(t)^2\\ &=e^{(e^{it}-1)^2}\\ &= e^{2(e^{it}-1)} \end{aligned}\)

• Continuer jusqu’a la premiere valeur inferieure a $0.05$
• Si $\mu_{\alpha}\in]3;4]$, $\mathbb P(X_1+X_2\gt\mu_{\alpha})=1-\mathbb P(Y\le 3)\simeq 0.0527$ donc $\alpha=0.0527$
• Si $\mu_{\alpha}\in]4;5]$, $\mathbb P(X_1+X_2\gt\mu_{\alpha})=1-\mathbb P(Y\le 3)\simeq 0.0166$ donc $\alpha=0.0166$
• Test le plus puissant de risque $\alpha \le 0.05$: rejet de $H_0$ si $x_1 + x_2 > 5$

Exemple

1. $H_0:m=m_0$ contre $H_1:m=m_1$ ou $X$ suit une loi $\mathcal N(m,1)$ et $m_0\le m_1$
2. A. N.: $m_0=1$ et $m_1=2$
3. Calculer $\alpha$
4. Calculer $\beta$

A RENDRE 1er et 2eme EXO DE REFLEXION (moodle)