PRSTA: TD 1

Exercice 1

Une variable aleatoire suit une loi normale de moyenne $m$ et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothtese $H_0:m=1$ contre $H_1:m\gt 1$. Determiner la region critique de ce test pour $\alpha=5\%$

Solution

Sous $(H_0)$:

\[T_n = \frac{\sqrt{n}(\bar X_n-m_0)}{\sqrt{S_n^2}}\sim \mathcal T_{n-1}\]

La zone d’acceptation: on rejette uniquement a droite, on accepte lorsque \(\{T_n\le t_{0.95}\}\)

Zone de rejet: \(\{T_n\gt t_{0,95}\}\)

Exercice 6

Une variable aleatoire suit une loi de moyenne $2$ et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothese $H_0:\sigma^2=2$ contre $H_1:\sigma^2\lt2$. Pour ce faire, nous disposons des observations: $1.2$, $2.1$, $1.7$, $2$, $3$, $7$, $0$ et $1$. Determiner la $P_{valeur}$ puis decider avec un risque d’erreur de premiere espece de $1\%$?

Solution

On obtient

\[\begin{aligned} S_{n}^{*} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m)^2\\ &= \frac{1}{8}(-(0.8)^2 + (0.1)^2 + (-0.3)^2 + 0 +1^2+5^2+(-2)^2+(-1)^2)\\ &=3.9675 \end{aligned}\]

Nous obtenons:

\[nS_n^{*} = 31,74\\\]

Donc:

\[\frac{nS_n^*}{2} = 15,87\\\]

On a donc $\frac{nS_n^{*}}{\sigma}\sim\chi^2_8$

\[P(\frac{nS_n^*}{2}\lt 15,87)\simeq 0.96\gt 0.01\]

Donc l’hypothese $(H_0)$ n’est pas rejetee.

Exercice 8

La variable aleatoire $X$ suit une loi exponentielle de parametre $\lambda$. Determiner la region critique du test $H_0:\lambda=1$ contre $H_1:\lambda=2$ pour un risque de premier espece.

Solution

\(X\sim \varepsilon(\lambda)\\\)

• $H_0:\lambda=1$
• $H_1:\lambda=2$

\[\begin{aligned} T&=\frac{L(X_n,\dots,X_m,1)}{L(X_1,\dots,X_m,2)}\\ &=\frac{\Pi_{i=1}^n1e^{-1X_i}}{\Pi_{i=1}^n2e^{-2X_i}}\\ \end{aligned}\]

Quelle formulle appliquons-nous ?

Un $\log$

\[\begin{aligned} T&=\frac{e^{-\sum X_i}}{2e^{-2ZX_i}}\\ &=\frac{1}{2^n}e^{\sum} \end{aligned}\]

Rejet de $(H_0)$: ${T\gt9\alpha}$

\[\begin{aligned} T&\gt S_{\alpha}\\ \log(T)&\gt\log(S_{\alpha})\\ -n\log(2)+\sum_{i=2}^nX_i&\gt\log(S_{\alpha})\\ \sum_{i=1}^nX_i&\gt n\underbrace{\log(2)+\log(S_{\alpha})}_{\color{green}{c_{\alpha}}} \end{aligned}\]

On a en region critique:

\[\color{green}{\{\sum_{i=1}^nX_i\gt c_{\alpha}\}}\]

Or

\(\sum_{i=1}^n X_i\sim\gamma(n,1)\)