PRSTA: TD 2

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Exercice 9

On etudie une grandeur suivant une loi normale $\mathcal N (m, 1)$. Nous disposons de deux observations issues de variables aleatoires independantes $X_1$ et $X_2$ et souhaitons tester $H_0 : m = 0$ contre $H_1 : m = 1$ et prendre une decision avec un risque de premiere espece $\alpha = 5\%$.

1. Considerons la regle de de decision : Rejeter $H_0$ si $X_1 + X_2 \gt k$.
   1. Quelle loi suit $X_1 + X_2$ sous l’hypothese $H_0$ ?
   2. En deduire la valeur de $k$ sachant que $\alpha = 5\%$.
   3. Determiner la region critique du test et representer la graphiquement.
   4. Calculer le risque de seconde espece $\beta$ et la puissance du test.
2. Considerons un autre test defini par la regle de decision : Rejeter $H_0$ si $\min(X_1, X_2) \gt l$.
   1. D´eterminer la valeur l sachant que $\alpha = 5\%$.
   2. D´eterminer la region critique et representer la graphiquement.
   3. Calculer le risque de seconde espece $\beta$ et la puissance du test.

Solution

1.

$X_1$ suit $\mathcal N(m,1)$ et $X_2$ suit $\mathcal N(m,1)$, on a $X_1$ indépendant à $X_2$ donc $X_1 + X_2$ suit $\mathcal N(2m,2)$.

2.

\[\alpha=P(\underbrace{\text{rejeter } H_0}_{\color{red}{X_1+X_2\gt k}} \vert \underbrace{H_{0} \text{ vraie}}_{\color{red}{X_1+X_2\sim\mathcal N(2m,2)}})\\ \color{red}{\begin{aligned} V(X_1+X_2) &= E((X_1+X_2)^2)\\ &= E(X_1^2)+E(X_2^2) + 2E(X_1X_2)\\ &= \color{black}{\boxed{\color{red}{2}}} + \underbrace{2E(X_1)E(X_2)}_{\color{black}{=0}} \end{aligned}}\]

\[\color{red}{ \begin{aligned} \alpha&= P(\text{rejeter } H_0\vert H_1\text{ vraie})\\ &= P(X_1+X_2\gt k\vert X_1+X_2\sim\mathcal N(0,2))\\ &= P(\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}\gt\frac{k}{\sqrt{2}}\vert X_1+X_2\sim\mathcal N(0,2)) \end{aligned} }\]

Sous l’hypothese $(H_0)$

\[\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}\sim\mathcal N(0,1)\\ 0,05 =\alpha=P(U\gt\frac{k}{\sqrt{2}})\] \[\frac{k}{\sqrt(2)} = 1.64 \text{ (par la table normale on cherche 0.95)} \\ \text{Donc, } k = 2.32\]

3.

On cherche la région critique tq on rejette $H_0$ soit $X_1 + X_2 \gt 2.32$

\[\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\vert x_1+x_2\gt 2.32\}\]

Qu’est-ce qu’on fait en premier ?

On ouvre Geogebra xdd

Comme en ocvx, on trace eq1: $x_1 + x_2 - 2.32 = 0$

4.

Rappel : Risque de second espece : $H_1$ soit vrai alors qu’on garde $H_0$ On veut donc $X_1 + X_2 \le k = 2.32$ et $X_1$ et $X_2$ suivent $\mathcal N(m=1,1)$ On cherche donc $\beta = P(\text{accepter} H_0 | H_1 vraie)$

\(\beta = P(X_1+X_2\le k\vert m=1)\\ \frac{X_1+X_2-2}{\sqrt{2}}\sim\mathcal N(0,1)\quad\text{sou l'hypothese } H_1\) \(\begin{aligned} \beta&=P(U\le\frac{k-2}{\sqrt{2}})\\ &=P(U\le0.23)\\ &=0.59 \end{aligned}\\ \color{green}{\boxed{\beta\simeq 0.59}}\)

On a fait une erreur majeure du point de vue modelisation: on a prit un $\alpha$ trop petit

La puissance de test est $1-0.59=\boxed{0.41}$

2ème partie

1. \(\begin{aligned} \alpha&=P(\text{rejeter } H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(\min(X_1,X_2)\gt l\vert m=0)\\ &= P(\{X_1\gt l\}\cap\{X_1\gt l\}\vert m=0)\\ &= P(U\gt l)^2 \quad\text{ou } U\sim\mathcal N(0,1)\text{ car } X_1 \text{ et } X_2\sim\mathcal N(0,1) \end{aligned}\\ \color{red}{0.05 = P(U\gt l)^2\\ P(U\gt l)=\sqrt{0.05}\simeq 0.22 }\)

Donc, d’apres la table:

\[l\simeq0.77\]

2.

\[\{(X_1,X_2)\in\mathbb R^2\vert\min(X_1,X_2)\gt 0.77\}\]

3.

On a un probleme: $P(\min(X_1,X_2)\le l)$

\[\begin{aligned} \beta&= P(\text{Accepter }H_0\vert H_1\text{ vraie})\\ &= P(\min(X_1,X_2)\le l\vert H_1\text{ vraie})\\ &= 1-P(\min(X_1,X_2)\gt l\vert H_1\text{ vraie}) \end{aligned}\] \[color{red}{ \begin{aligned} \beta&= 1-P(\{X_1\gt l\}\cap \{X_2\gt l\}\vert H_1\text{ vraie})\\ &= 1-P(X_1\gt l\vert H_1\text{ vraie})^2\quad X_1\text{ et } X_2 \sim\mathcal N(1,1) \end{aligned} }\]

Sous $(H_1)$, $X_1$ et $X_2$ suivent une loi $\mathcal N(1,1)$

Donc $U=X_1-1\sim\mathcal N(0,1)$ sous $(H_1)$

\(\begin{aligned} \beta &=1-P(X_1-1\gt 0.77-1)^2\\ &= 1-P(U\gt -0.23)^2\\ &\simeq 1-0.59^2\\ &\simeq 0.65 \end{aligned}\) La puissance du test est $1-\beta = 1 - 0.65 = \boxed{0.35}$