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Feuille 3 Exercice 1
La variable aleatoire $X$ suit une loi $N(0, \sigma^2)$ avec $\sigma \gt 0$. Nous etudierons le test $H_0 : \sigma^2 = \sigma^2_0$ contre $H_1 : \sigma^2 = \sigma_2^1$ avec $0 \lt \sigma_0 \lt \sigma_1$.
- Determiner la statistique de Neyman-Pearson que nous noterons $T_n$.
- Determiner $\alpha$ en fonction du seuil du test.
- Determiner $\beta$ en fonction du seuil du test.
- Determiner les courbes COR associees a ce test.
Solution
\[\begin{aligned} T&=\frac{\Pi_{i=1}^nf(X_i,\sigma_1)}{\Pi_{i=1}^nf(X_i,\sigma_0)}\\ &= \frac{\Pi_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}\exp(\frac{-X_i^2}{2\sigma_1^2})}{\Pi_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_0\sqrt{2\pi}}\exp(\frac{-X_i^2}{2\sigma_0^2})}\\ &=(\frac{\sigma_0}{\sigma_1})^n\exp(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nX_i^2(\frac{1}{\sigma_1^2}-\frac{1}{\sigma_0^2})) \end{aligned}\\ \begin{aligned} \ln(T)&=\underbrace{n\ln(\frac{\sigma_0}{\sigma_1})}_{\color{green}{a}}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nX_i^2\underbrace{(\frac{1}{\sigma_1^2}-\frac{1}{\sigma_0^2})}_{\color{green}{b}}\\ &= a-\frac{b}{2}\sum_{i=1}^nX_i^2 \end{aligned}\]D’apres le lemme de Neyman-Pearson:
L’hypothese $H_0$ est rejetee lorsque:
\[\begin{aligned} T&\gt C_{\alpha}\\ \ln(T)&\gt\ln(C_{\alpha})\\ a-\frac{b}{2}\sum_{i=1}^nX_i^2&\gt\ln(C_{\alpha})\\ \sum_{i=1}^nX_i^2&\gt-\frac{2}{b}(\ln(C_{\alpha}) - a) \end{aligned}\\ \color{red}{\boxed{\sum_{i=1}^nX_i^2\gt S_{\alpha}}}\\ T_n=\sum_{i=1}^nX_i^2\]On cherche $\alpha$ et $\beta$:
\[\begin{aligned} \alpha&= P(\text{rejeter } H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &=P(\sum X_i^2\gt S_{\alpha}\vert\sigma=\sigma_0)\\ &=P(\frac{T_n}{\sigma_0^2}\gt\frac{S_{\alpha}}{\sigma_0^2}) \end{aligned}\]Les variables aleatoires sont normales centrees et independantes donc
\[W_n:=\frac{T_n}{\sigma_0^2}\sim\chi_2(n)\\ \alpha=P(W_n\gt\frac{S_{\alpha}}{\sigma_0^2})\]On prend $\alpha=0.05$ et $n=33$
\[\frac{S_{\alpha}}{\sigma_0^2}\simeq 47,40\]1
2
chi2.ppf(0.95, 33)
chi2.isf(0.05, 33)
s comme survie
Sous l’hypothese $H_1$: $W_n’:=\frac{T_n}{\sigma_1^2}\sim\chi^2(n)$
\[\begin{aligned} \beta &= P(W_n'\le\frac{S_{\alpha}}{\sigma_1^2})\\ &= F_n(\frac{S_{\alpha}}{\sigma_1^2})\\ \end{aligned}\\ \color{red}{\boxed{\beta = F_n\biggr(\frac{\sigma_0^2F_n^{-1}(1-\alpha)}{\sigma_1^2}\biggr)}}\]Feuille 3 Exercice 3
La variable aleatoire $X$ suit une loi geometrique de parametre $p$. A l’aide du theoreme de Wilks, ecrire la zone de rejet du test $H_0 : p = 0, 25$ contre $H_1 : p = 0, 5$.
Solution
D’apres le theoreme de Wilks,
\[R_n=2\log(T_n)\sim\chi^2(1)\\ \{R_n\gt 3,84\}\]Il suffit d’expliciter en $R_n$
Il suffit d’expliciter $R_n$
\[\begin{aligned} T_n&=\frac{L(X_1,\dots,X_n,0.5)}{L(X_1,\dots,X_n,0.25)}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n0.5\times(1-0.5)^{X_i-1}}{\prod_{i=1}^n0.25\times(1-0.25)^{X_i-1}}\\ &= 2^n\times\prod_{i=1}^n\biggr(\frac{0.5}{0.75}\biggr)^{X_i-1}\\ &= 2^n\times\prod_{i=1}^n\biggr(\frac{2}{3}\biggr)\\ &= 2^n\times\biggr(\frac{2}{3}\biggr)^{\sum_{i=1}^n(X_i-1)} \end{aligned}\]Passons au logarithme neperien:
\[\ln(T_n)=n\ln(2)+\ln\biggr(\frac{2}{3}\biggr)\sum_{i=1}^n(X_i-1)\\ \begin{aligned} R_n&=2\ln(T_n)\\ &= 2(n\ln(2)+\ln\biggr(\frac{2}{3}\biggr)\sum_{i=1}^n(X_i-1)) \end{aligned}\\ \alpha = 5\%\]Rappel: $R_n$ suit asymptotiquement $\chi^2(1)$
Zone de rejet:
\[\{R_n\gt 3,84\}\]On veut resoudre l’equation pour isoler $\sum_{i=1}^nX_i$
\[\begin{aligned} 2[n\ln(2)+\ln(\frac{2}{3})\sum_{i=1}^n(X_i-1)]&\gt3.84\\ \ln(\frac{2}{3})\sum_{i=1}^n(X_i-1)&\gt\frac{3.84}{2}-\ln(2)\\ \sum_{i=1}^nX_i-n&\lt\frac{\frac{3.84}{2}-n\ln(2)}{ln(\frac{2}{3})}\quad\text{car }\ln(\frac{2}{3})\lt0\\ \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}&\lt\frac{1.92-n\ln(2)}{n\ln(\frac{2}{3})} +1\\ \bar X_n&\lt\frac{1.92-n\ln(2)}{n\ln(\frac{2}{3})}+1 \end{aligned}\]