PRSTA: TD 5

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Feuille 3 Exercice 4

La variable aleatoire $X$ suit une loi de Pareto de parametre $\alpha$.A l’aide du theoreme de Wilks, ecrire la zone de rejet du test $H_0 : \alpha = 2$ contre $H_1 : \alpha \gt 2$.

Solution

Nous n’avons pas de valeur pour $H_1$, mais $\alpha\gt 2$. Nous allons donc le remplacer par l’EMV.

Pour la loi de Pareto de parametre $\alpha\gt 0$ dont la densite est donnee par

\[f(x,\alpha) = \alpha x^{-\alpha-1}\]

pour $x\gt 1$.

Determinons l’EMV.

On a:

\[L(x,\alpha) = \alpha^{n}\prod_{i=1}^nx_i^{-\alpha-1}\]

d’ou

\[\log L(x,\alpha) = n\log \alpha + \sum_{i=1}^n(-\alpha-1)\log(x_i)\]

et

\[\frac{\partial\log L}{\partial\alpha}(x,\alpha) = \frac{n}{\alpha}-\sum_{i=1}^n\log(x_i)\]

Ainsi

\[\frac{\partial\log L}{\partial \alpha}(x,\alpha) =0\]

equivaut a

\[\frac{n}{\alpha}-\sum_{i=1}^n\log(x_i) = 0\]

Nous obtenons la solution $\hat\alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\log (x_i)}$

Reste a verifier la condition du second ordre:

\[\frac{\partial^2\log L}{\partial\alpha^2} = -\frac{n}{\alpha^2}\lt 0\]

Par consequent, $\hat\alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\log(x_i)}$ est bien l’EMV

\[\begin{aligned} T&= \frac{L(X_1,\dots,X_n,\hat\alpha)}{L(X_1,\dots,X_n,2)}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n(\frac{n}{\sum_{j=1}^n\ln(X_j)})X_i^{-(\frac{n}{\Sigma \ln(X_i)+1})}}{\prod_{i=1}^n2X_i^{-3}}\\ &= \biggr(\frac{n}{2\Sigma\ln(X_j)}\biggr)^n\prod_{i=1}^nX_i^{-\frac{n}{\Sigma\ln(X_i)+2}} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} R_n&= 2\ln(T)\\ &= 2n\ln(\frac{n}{2S})+\sum_{i=1}^n(2-\frac{n}{S})\ln(X_i) \end{aligned}\\ \color{red}{S:=\sum_{j=1}^n\ln(X_j)}\\ \begin{aligned} Rn &= 2n\ln(\frac{n}{2S})+(2-\frac{n}{S})S\\ &= \boxed{2n\ln(\frac{n}{2S})+2S-n} \end{aligned}\]

Asymptotiquement, $R_n$ suit asymptotiquement une loi de $\chi^2$ a $n$ degre de liberte.

La zone de rejet est:

\[\{R_n\gt\chi^2_{\color{red}{1-\alpha}}\}\]

ou $\chi^2_{1-\alpha}$ designe le quantile de niveau $1-\alpha$

Feuille 3 Exercice 6

Considerons $n$ variables aleatoires independantes de densite:

\[f(x,\theta) = \theta^2xe^{-\theta x}𝟙_{\mathbb R_+}(x)\]

ou le parametre $\theta$ est strictement positif.

Nous disponsons de $n$ observations et voulons tester l’hypothese $H_0:\theta = \theta_0$ contre l’hypothese $H_1:\theta = \theta_1$ avec $\theta_0\lt \theta_1$

1. Justifier que $f(x,\theta)$ definit bien une densite pour tout $\theta\gt 0$
2. Calculer $E(X)$
3. Determiner la statistique de Neyman-Pearson que nous noterons $T_n$
4. En admettant que $\theta T_n$ suit une loi $\Gamma(2n,1)$, determiner une expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction du seuil du test
5. Determiner les courbes COR associes a ce test.

Solution

On saute les 2 premieres questions car fait et refait

3.

\[\begin{aligned} T &= \frac{L(X_n,\dots,X_n,\theta_1)}{L(X_n,\dots,X_n,\theta_0)}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n\theta_1^2X_ie^{-\theta_1X_i}}{\prod_{i=1}^n\theta_0^2X_ie^{-\theta_0X_i}}\\ &= \biggr(\frac{\theta_1}{\theta_0}\biggr)^{2n}\times e^{\sum_{i=1}^n(\theta_0-\theta_1)X_i} \end{aligned}\]

On passe au logarithme:

\[\begin{aligned} \ln T&= \underbrace{2n\log(\frac{\theta_1}{\theta_0})}_{\color{green}{a}}+\underbrace{(\theta_0-\theta_1)}_{\color{green}{b}}\sum_{i=1}^nX_i \end{aligned}\]

L’hypothese $H_0$ est rejetee lorsque:

\[\begin{aligned} T&\gt C_{\alpha}\\ \ln T&\gt\ln C_{\alpha}\\ a+b\sum_{i=1}^nX_i&\gt\ln (C_{\alpha})\\ \underbrace{\sum_{i=1}^n X_i}_{\color{red}{T_n}}&\lt \underbrace{\frac{\ln(C_{\alpha})-a}{b}}_{\color{red}{S_{\alpha}}} \end{aligned}\\ \color{green}{\text{car } b = \theta_0-\theta_1\lt 0}\]

Donc:

\[T_n\lt S_{\alpha}\]

4.

\[\begin{aligned} \alpha &= P(\text{Rejeter } H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(T_n\lt S_{\alpha}\vert \theta=\theta_0) \end{aligned}\]

Sous $H_0$, $\theta_0 T_n$ suit une loi $\Gamma(2n, 1)$

\[\begin{aligned} \alpha &= P(\theta_0T_n\lt\theta_0 S_{\alpha})\\ &= F_n(\theta_0S_{\alpha}) \end{aligned}\]

Ou $F_n$ designe la fonction de repartition de la loi $\Gamma(2n,1)$.

Exprimons $S_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$:

\[\boxed{S_{\alpha}=\frac{F_n^{-1}(\alpha)}{\theta_0}}\]

\[\begin{aligned} \beta&= P(\text{Rejeter }H_1\vert H_1\text{ vraie})\\ &= P(T_n\ge S_{\alpha}\vert \theta=\theta_1)\\ &= P(\theta_1T_n\ge\theta_1S_{\alpha}\vert\theta=\theta_1) \end{aligned}\]

Or sous $H_1$: $\theta T_n\sim\Gamma(2n,1)$

Donc:

\[\boxed{\begin{aligned}\beta&=1-F_n(\theta,S_{\alpha})\\ &=1-F_n(\frac{\theta}{\theta_0}F_n^{-1}(\alpha))\end{aligned}}\]

En python:

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 20, scale=1), 20, scale = 1)

0.9184...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 50, scale=1), 50, scale = 1)

0.999702...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.01, 10, scale=1), 10, scale = 1)

0.316165...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.001, 100, scale=1), 100, scale = 1)

0.9999523...

On nome $\Pi$ la probabilite de detection:

\[\Pi = 1-\beta\\ \boxed{\Pi = F_n(\frac{\theta_1}{\theta_0}F_n^{-1}(\alpha))}\]

Feuille 4 Exercice 4

Considerons $n$ variables aleatoires independantes $X_i$ suivant la loi de densite:

\[f(x,\theta) = \frac{3}{\theta} x^2e^{-\frac{x^3}{\theta}}𝟙_{\mathbb R_+(x)}\]

avec $\theta\gt 0$ ou \(𝟙_{\mathbb R_+}\) designe la fonction indicatrice de $\mathbb R_+$

Nous souhaitons tester l’hypothese $H_0:\theta = \theta_0$ contre $H_1:\theta = \theta_1$ avec $\theta_0\lt \theta_1$ a l’aide d’observations $x_i$ issues de l’echantillon precedent

1. • (a) Justifier que, pour tout $\theta\gt0$, $f(\cdot,\theta)$ definit bien une densite sur $\mathbb R$
   • (b) Determiner l’EMV $\hat\theta$
2. Determiner la statistique du test de Neyman-Pearson et indiquer la region critique associe a ce test.
3. Verifier que la variable aleatoire $Y_i=\frac{2}{\theta}X_i^3$ suit une loin $\chi^2$ a deux degres de liberte
4. En deduire le seuil du test de Neyman-Pearson en fonction du risque de premiere espece $\alpha$
5. Determiner la puissance du test en fonction du test et de $\theta_1$
6. Determiner les courbes COR associees a ce test
7. • (a) Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=2$ et $n=15$
   • (b) Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=5$ et $n=30$
   • (c) Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=2$ et $n=10$
   • (d) Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=5$ et $n=30$

Solution

3.

On pose $\phi(y)=\frac{2}{\theta}y^3$.

Ainsi:

\[\phi^{-1}(y) = \sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}\]

Elle est derivable car elle est polynomiale et est bijective car elle est strictement croissante.

\[\begin{aligned} f_Y(y)&=\frac{1}{(\frac{6}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2)}\times f(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})\\ &= \frac{1}{\frac{6}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2}\times \frac{3}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2\times e^{-(\frac{(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^3}{\theta})}\\ &= \frac{1}{2}\times e^{-\frac{y}{2}} \end{aligned}\]

On peut en deduire que $Y$ suit une loi $\chi^2(2)$

4.

\[\color{green}{\boxed{T=\sum_{i=1}^nX_i^3}}\] \[\color{green}{Y_{i} = \frac{2}{\theta}X_i^3\sim X^2(2)}\] \[\Rightarrow \frac{2}{\theta} T\sim \chi^2(2n)\] \[\begin{aligned} \alpha &=P(\text{Rejeter }H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(T\gt S_{\alpha}\vert\theta = \theta_0)\\ &= P(\frac{2}{\theta_0}T\gt \frac{2}{\theta_0}S_{\alpha}\vert \theta=\theta_0) \end{aligned}\]

Sous $(H_0)$, $\color{red}{\frac{2}{\theta_0}T\sim\chi^2(2n)}$

$\color{green}{F_n \text{ est la fonction de repartition }\chi^2(2n)}$

\[\alpha = P(W\gt \frac{2}{\theta_0}S_{\alpha})\]

\[\alpha = 1 -F_n(\frac{2}{\theta_0}S_{\alpha})\]

$\color{red}{Donc}$

\[1-\alpha = F_n(\frac{2}{\theta_0}S_{\alpha})\]

\[S_{\alpha} = \frac{\theta_0}{2}F_n^{-1}(1-\alpha)\]

\[\begin{aligned} \color{red}{\beta} &= P(\text{Rejeter }H_1\vert H_1\text{vraie})\\ &= P(T\le S_{\alpha}\vert \theta=\theta_1)\\ &= P(\frac{2}{\theta_1}T\le \frac{2}{\theta_1}S_{\alpha}\vert \theta = \theta_1) \end{aligned}\] \[w_1 = \frac{2}{\theta_1}T\sim \chi^2(2n)\]

\[\beta = F_n(\frac{2}{\theta_1}S_{\alpha})\] \[\color{green}{\beta = F_n\biggr(\frac{\theta_0}{\theta_1}F_n^{-1}(1-\alpha)\biggr)}\]

Passons aux applications numeriques:

scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.95, 30), 30)

0.14185880202947254

scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.95, 60), 60)

1.6239064341119149e-09

scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

0.46403880816957155

scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

1.87204631776198e-08

scipy.stats.chi2.cdf(1.0001 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

0.9900104784496678