TIFO: Le bruit

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Modelisation

Amelioration vs restauration:

• Amelioration: on ne sait pas ou on va
• Restauration: on a un modele que l’on souhaite atteindre

Modele de degradatation (dans le domaine spatial)

• $I_{\text{deg}}=h*I_{\text{ori}} + n$
  • $h\to$ la degradation (optique, flou…)
  • $n\to$ le bruit

Le bruit

\(I_{\text{deg}} = h*I_{\text{ori}} + n\)

On regarde $n$.

Genant pour le cote esthetique que pour les traitements $\Rightarrow$ Il faut donc reduire ce bruit

• Reduction de bruit
  • Estimation ?
    • Connaissances a priori ou pas
  • Reduction
    • Sans degrader le signal…

Bruit additif

On considere souvent ici le bruit additif

Fonction de repartition peut varier:

• Gaussienne, (impulsion) periodique

Estimation

Soit le capteur est connu:

• Photos d’une zone bien homogene dans de bonnes conditions d’eclairement

Soit le capteur pas connu:

• Analyse de quelques zones

Exemple

On cherche dans les zones les plus homogenes l’ecart-type des valeurs.

Reduction

Revisite des filtres classiques

• Mean filter
  • Arithmetic mean
  • Geometric mean
  • Harmonic mean
  • …
• Median + variantes
  • Midpoint, alpha-trimmed
• Adaptative
  • Gaussien selectif
  • …

Approche par ondelette

• l’image $f(n)$ est bruite par $q(n)$
  • $g(n)=f(n)+q(n)$
• L’estimation de la correction
  • $F_c=W^{-1}T_{\lambda}Wg$
  • $T_{\lambda}p(y)=p(y)$ si $\vert p(y)\vert\gt\lambda$, $0$ sinon
  • $T_{\lambda}p(y)=p(\lambda)\pm\lambda$ si $\vert p(y)\vert \gt \lambda$, $0$ sinon

Resultat:

• ToS (Tree of Shape)
  • Bruit = feuilles dans l’arbre
  • Couper les feuilles de l’arbre pour affiner le resultat
• NLMeans
  • Au lieu de faire la moyenne sur un voisinage, on cherche des patchs ressemblants

Resultats: On a une image a laquelle on rajoute du bruit et qu’on debruite avec NLMeans

Degradation periodiques

Moi devant les cours de TIFO quand je me dit que je reviserai plus tard

Spectre (eclairci):

On a des taches aux coins qui apparaissent.

Definition du filtre dans le domaine frequentiel: On fait un rejecteur (on met a 0 des frequences precises dans le spectre)

Fait un peu grossierement

On multiplie le spectre et l’image obtenue par le filtre, supprimant theoriquement l’origine des degradations periodiques:

Resultat:

Si on fait la difference entre l’image d’origine et debruitee:

La partie convolutionnelle

• Le bruit: $I_{\text{deg}} = h*I_{\text{ori}} + n$
  • On regarde $h$
  • Degradations convolutionnelles comme du flou de bouge
• Reduction $\Leftrightarrow$ deconvolution
  • Blind deconvolution: Seul $I_{\text{deg}}$ connu
  • Non-Blind deconvolution: $I_{\text{deg}}$ et $h$ sont connnus

Degradation:

• $g=h*f+n$

Passage en frequentiel:

• $G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)$
  • $h\to$ point spread function (PSF)

Estimation de $F$ (l’image non bruitee)

• On a envie de dire: $g=h*f$ d’ou une solution “facile”
  • $F_e(u,v)=\frac{G(u,v)}{H(u,v)}$
• Toutefois, il y a le bruit additif
  • $F_e(u,v)=F(u,v)+\frac{N(u,v)}{H(u,v)}$
  • Quand $H\to0$, $\frac{N}{H}\to+\infty$ $\Rightarrow$ limiter le support

Solution:

\[F_e(u,v)=F(u,v)+\frac{N(u,v)}{H(u,v)}\]

• $h/H$ connu ou pas?

Filtre de Wiener

• Mean square error entre $f$ et $f_e$: $e=E[(f-f_e)^2]$
• On cherche $W$ tel que:
  • $\frac{1}{NM}E[\vert F-F_e\vert^2]$ soit $\min$
  • $F_e=WG=WHF+WN$
  • $F-F_e=(1-WH)F-WN$
  • $e=\frac{1}{NM}\sum\sum\vert (1-WH)F-WN\vert^2$
• Expression en frequentiel de $f_e$ (en fonction de $H$) en derivant e en fonction de $W$

\[F_e = \biggr[\frac{1}{H}\frac{\vert H\vert^2}{\vert H\vert^2+\frac{\vert N\vert^2}{\vert F\vert^2}}\biggr]G\]

Filtre de Wiener:

\[w = \biggr[\frac{H^c}{\vert H\vert^2+\underbrace{\frac{\vert N\vert^2}{\vert F\vert^2}}}_{=K}\biggr]\]

Probleme: $\frac{\vert N\vert^2}{\vert F\vert^2}$ pas connu $\rightarrow$ mais considere constant $K$

Degradation

• Comment determiner $H$ ?
  • Faire une image d’une impulsion $\to$ determine entierement $H$
  • Analyser une image et essayer de determiner sur des frontieres ou des impulsions la reponse $H$
  • Modeliser la degradation (flou de bouger…)

$\to$ Tres difficile la plupart du temps

Quantification des resultats

• Rapport signal sur bruit SNR
  • $\sum\vert F(u,v)\vert^2\sum\vert N(u,v)\vert^2$
• Mean Square Error MSE entre l’image et l’estimation
  • $\frac{1}{N}\sum (f(x,y)-f_e(x,y))^2$
  • Note: SNR=$\sum\frac{(fe(x,y)^2)}{MSE}$

Conclusion

• Restauration, amelioration
  • Difficile dans le cas general