TNSI: Filtres lineaires stationnaires - 2

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Filtres lineaires

1. Linearite \(\begin{aligned}\mathcal H\{ax_1[n]+bx_2[n]\} &= a\mathcal H \{x_1[n]\}+b\mathcal H\{x_2[n]\} \\ &= ay_1[n] + by_2[n]\end{aligned}\)
2. Stationnarite \(y[n]=\mathcal \{x[n]\}\Leftrightarrow \mathcal H\{x[n-n_0]\}=y[n-n_0]\)

\[x[n] = \sum_{p=-\infty}^{+\infty}x[p]\delta[n-p]\\ \mathcal H\{x[n]\} = \sum_{p=-\infty}^{+\infty}x[p]\mathcal \{\delta[n-p]\}\\ \mathcal H\{x[n]\} = \sum_{p=-\infty}^{+\infty}x[p]h[n-p]=x \ast h[n]\]

$h[n]$ est la reponse impulsionnelle discrete

3.La causalite

\[\mathcal H\{x[n]\} = \sum_{p=-\infty}^{+\infty}h[p]x[n-p]\to h[p]=0\text{ pour } p\lt0\]

4.Stabilite

\[\vert\mathcal H\{x[n]\}\vert\le \sum_{p=-\infty}^{+\infty}\vert h[p]\vert \vert x[n-p]\vert \le \sup_{n\in\mathbb Z}\vert x[n]\vert\sum_{p=-\infty}^{+\infty}\vert h[p]\vert\]

On parle de BIBO stability: Bounded Input Bounded output

• Filtres a reponse impulsionnelle finie (RIF)
• Filtres a reponse impulsionnelle infinie (RII)
• Filtre causal
• Filtre non causal

La TF joue un role fondamental dans l’analyse des operateurs stationnaires

\[\hat y (\omega)=\hat h(x)\hat x(\omega)\quad \omega=2i\pi f\quad \omega\in[-\pi, \pi]\]

$\hat h(\omega)$ est la fonction de transfert ou reponse frequentielle du filtre

2 effets:

• amplitude: amplification $(\vert \hat h(\omega)\vert\lt 1)$
• phase: decalage et deformation de $x$

Exemple

Soit $x[n]\to x_b[n]=x[n]+b[n]$

Filtre moyenneur \(h_{\Pi}[n]=\begin{cases}1 \\ 0\end{cases}\) pour $\Pi$ echantillons.

\[\hat h(\omega)=\frac{1}{\Pi}\frac{\sin(\frac{\omega}{2}\Pi)}{\sin(\frac{\omega}{2})}e^{-\frac{\omega}{2}(\Pi-1)}\]

Un filtre causal va etre centre en $0$:

Un filtre non causal ne l’est pas:

On a une suite d’echantillons:

Si on applique un filtre causal, on va forcement avoir un decalage dans le temps

Types de filtres

• Filtres a phase nulle
• Filtres a phase lineaire (implique un decalage en temps)
• Filtre a phase non lineaire

\[\hat h(\omega) = e^{-i\omega a}\\ \hat y (\omega)=\hat h(\omega)\hat x(\omega) = e^{-i\omega a}\hat x(\omega)\\ y[n] = x[n-a]\]

Passe-bas ideal

\[\hat h(\omega) = \begin{aligned} 1 &\forall \vert\omega\vert \le w_c\\ 0 \end{aligned}\\ \hat h (\omega)=\Pi(\frac{\omega}{2\omega_c})\quad\text{ou }\Pi(x)=\begin{cases} 1&\vert x\vert\le\frac{1}{2}\\ 0 \end{cases}\]

Reponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas ideal

TFTd inverse

\[\begin{aligned} h[n] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{pi}\hat h(\omega)e^{i\omega n}d\omega\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega}e^{i\omega n}d\omega\\ &= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{in}(e^{i\omega_cn}-e^{-i\omega_cn})=\frac{1}{\pi n}\sin(\omega_cn)\\ \end{aligned}\]

Quand on applique une fonction porte en frequence, ca revient a faire une convolution en temps de:

En augmentant le nombre d’echantillons:

On introduit des artefacts numeriques dus aux approximations mathematiques

Construire un filtre

Lobe principal Pente de coupure (transition abrupte de niveau) TODO

Equations recurrentes a coefficients constants

On souhaite resoudre une equation de forme:

\[\sum_{k=0}^{N-1}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{\Pi-1}b_kx[n-k]\]

• $a_k$ equivalent a construire un filtre en passant par l’espace de Fourier
• $b_k$ controle l’entree pour eviter les effets indesirables

Comment calculer ces coefficients ?

Et la fonction de trasnfert de ce filtre ?

Fourier ?

\[\frac{\hat y(\omega)}{\hat x(\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^{M-1}b_ke^{-ik\omega}}{\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{-ik\omega}}=\hat h(\omega)\]

Transformee en Z

La TZ d’un signal discret $x[n]$:

\[X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\underbrace{z^{-n}}_{\color{red}{\mathbb C}}\quad\text{avec } R_1\le \vert z\vert\le R_2\]

La TFtd avec $z=e^{i\omega f}$

La TFtd est egale a la TZ sur le cercle unite

Pour nos filtres, il faut donc que le cercle unite appartienne au domaine de convergence

Si on reprend l’equation de depart, sa TZ:

\[Y(z)\sum_{k=0}^{N-1}a_kz^{-k}=X(z)\sum_{k=0}^{M-1}b_kz^{-k}\\ Y(z)=H(z)X(z)\\ H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M-1}b_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^{N-1}a_kz^{-k}}=\color{red}{c\frac{\prod_{k=0}^{M-1}(1-Z_kZ^{-1})}{\prod_{k=0}^{N-1}(1-Z_kZ^{-1})}}\]

roni

qp3ihpr

elkwfnwlef

\[h[n] = \frac{1}{N}(𝟙_{\{0,\dots,N-1\}})\\ \downarrow\\ H(z) = \frac{1}{N}(\sum_{n=0}^{N-1}z^{-n})\to\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}\\ H(\omega) = \frac{1-e^{-i\omega N}}{1-e^{-i\omega}}\]

Specification pour la synthese de filtre

1. Choix d’une bande passante et d’une bande stoppante
2. Forme de la phase
3. Limite de calcul $\to$ le degre de la fonction de tranfert (cad $M$ et $N$)

• $\omega_p$: frequence de coupure de la bande passante
• $\omega_s$: frequence de coupure de la bande coupee
• $\delta_p$: ondulation en bande passante
• $\delta_c$: ondulation en bande coupee
• $(\omega_p + \omega_s) / 2$: frequence de coupure du filtre

Filtres RII vs RIF

Filtres RII

Avantages	Desavantage
Calcul efficace (recursif)	Probleme de stabilite
Facile d’obtenir une attenuation forte	Difficulte a construire
Adapte a l’audio	Phase non lineaire

\[H(z) = \frac{\Sigma b_kz^{-k}}{\Sigma a_kz^{-k}}\]

Filtre RIF

Avantages	Desavantage
Toujours stable	Probleme de stabilite
Synthese optimale possible (algorithme de Parks McCellan)	Difficulte a construire
Phase lineaire possible	Cout computationnel plus eleve

\[H(z) = \Sigma b_kz^{-k}\]

Filtres RII

Filtres couramment utilises sont issus du monde analogique

Exercice

1. Comparer les filtres de:
   • Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev II et Elliptic
   • scipy.signal.iirfilter
   • scipy.signal.freqs $\to$ tracer entre $[-1, 1]$
   • Interpreter
2. Suppression composante directe $\to$ DC biais ($\to$ signal non centre)
   • Quel filtre frequentiel ?
     • Supprimer $\omega = 0$
   • $\color{red}{\text{A faire a l’aide de la TZ}}$

\[\color{green}{H(z) = c\frac{\Pi(1-\overbrace{z_n}^{\color{red}{\text{zeros}}}z^{-1})}{\Pi(1-\underbrace{P_n}_{\color{red}{\text{pole}}}z^{-1})}}\]

On veut supprimer la frequence a $0$

\[H(z)=c\frac{\Pi(1-z_nz^{-1})}{\Pi(1-P_nz^{-1})}\quad\text{on s'en fiche du denominateur}\\ \color{red}{\Pi(1-z_n\underbrace{z^{-1}}_{=1})=0\to (1-z_n\times 1) = 0 \\ z_n=1}\\ H(z) = \overbrace{1-z^{-1}}^{z^0}\\ H(\omega) = 1-e^{-i\omega n}\to y[n] = x[n - 0] - x[n-1]\\ H(z) = \frac{1-z^{-1}}{1-\alpha z^{-1}}\to y[n]-\alpha y[n-1]=x[n]-x[n-1] \quad \alpha\in[0;1]\\ h(\omega) = \frac{1-e^{-i\omega}}{1-\alpha e^{-i\omega}}\to y[n]=x[n]-x[n-1]+\alpha y[n-1]\]

Filtres RIF

Construction optimal par minimax Algorithme de Parks % McClellan / algorithme de Remez

• Phase lineaire
• Oscillation en bande passante et stoppante

L’algorithme consiste a minimiser l’oscillation maximale

La phase lineaire est obtenue a partir d’une reponse impulsionnelle symetrique ou antisymetrique (longueur paire ou impaire)

\[H(\omega) = A(\omega)e^{-i\omega\delta + \phi_0}\]

	Symetrique	Asymetrique
Impaire	$\color{red}{\text{Type I}}$ \(\text{Retard entier} \\ \phi_0 = 0 \\ \text{pas de zeros imposes}\)	$\color{red}{\text{Type III}}$ \(\text{Retard entier} \\ \phi_0 = 0 \\ \text{zeros imposes en }\omega = 0 \text{ et } \pi\)
Paire	$\color{red}{\text{Type II}}$ \(\text{Retard non entier} \\ \phi_0 = \pi/2 \\ \text{zeros imposes en }\omega = \pi/2\)	$\color{red}{\text{Type IV}}$ \(\text{Retard non entier} \\ \phi_0 = \pi/2 \\ \text{zeros imposes en }\omega = 0\)

Exercice

1. Designer un filtre simple par troncature en choisissant judicieusement la fenetre
2. Creer un filtre avec scipy et l’algorithme de minimax (signal.remez)
3. Analyser l’impact des parametres

Solution

On fait comme si Fourier se met des oeilleres

On veut appliquer une fonction porte

Soit $P$ impulsion d’une fonction $e$ emise a differents instant. On souhaite retrouver les instants des differentes impulsions

\[\begin{matrix} e[n] = \underbrace{\sum_{k=0}^{K-1}\alpha^k\delta[n-k]}\quad \alpha\in]0;1[&y[n] = (x\ast e)[n]\\ \sum_{n=0}^{K-1}\alpha^kz^{-n}=\frac{1-\alpha^Kz^{-K}}{1-\alpha z^{-1}}&Y(z)=X(z)\ast E(z)\begin{aligned}&\to \frac{Y(z)}{E(z)} \\ &\to \frac{1}{E(z)}\end{aligned} \end{matrix}\\ H(z)\cdot Y(z)\\ H(z) = \frac{1-\alpha z^{-1}}{1-\alpha^Kz^{-K}}\to y[n]-\alpha y[n-1] = x[n] - \alpha^K x[n-K]\]

1. Trouver un filtre a l’aide de la TZ qui permet de retrouver $x$ (en connaissant $e$)
2. Determiner le filtre en temps