TNSI: Traitement numerique du signal

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Presentation

Parcours:

• Ingenieur topographe - INSA
• These en traitement du signal et de l’image - Telecom

Ingenieur Chercheur a EDF R&D (Saclay)

• Groupe realite virtuelle et visualisation scientifique (avec Arnaud MAS)
• Numerisation et apprentissage statistique (image et 3D)

Groupe Realite Virtuelle Visualisation Scientifique

• Aider l’exploitant des sites de production nucleaire a decider lors des phases de preparation et de realisation des arretes de tranche
• Aider

OCR pour les plans techniques

La reconnaissance de forme dans les images

Segmentation semantique: deux reseau

• Segmentation pixelique
• Segmentation semantique pour classifier les pixels de l’image

La reconnaissance de forme dans les nuages de points

Donnees DP2D FES2 Local R250 280 millions de points

Actuellement: manuel

• Segmentation en petit nuage de points + ajustement de forme

Traitement numerique du signal

Definition

Representation de la variation d’un phenomene physique

Exemples Evolution de la temperature ou de la pression dans le temps

Definition

Transcrire numeriquement (i.e. des donnees) un signal continu (monde reel)

On veut passer du monde continu au monde discret

Comment on fait le passage du continu au discret ?

On va faire un echantillonage en temps et en amplitude

Quelle est la precision de cette discretisation ?

On utilise le theoreme de Shannon

En resume: on prend notre signal, on compare dans chaque base de fonction a quel point notre signal ressemble et on va pouvoir voir a quel point notre signal est haute frequence et basse frequence.

Avec les transformee de Fourier, on veut passer en temporel sans perdre d’information

Theoreme d’interpolation

Decoule du theoreme de Shannon

On utilise un sinus cardinal

Le theoreme de Shannon nous dit qu’on a un signal continu:

\[x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\underbrace{\frac{\sin\biggr(\frac{\pi(\overbrace{t-\color{red}{nT_e}}^{\text{translation}})}{\underbrace{\color{red}{T_e}}_{\text{echelle}}}\biggr)}{\frac{\pi(t-nT_e)}{T_e}}}_{\color{red}{sinc}}\]

Exercice

\[x(t) = \sin(10t) + 2\sin(2t) + \sin(5t) - 3\sin(\frac{t}{2})\\ t = [-2, 2]\to 400\]

1. Normaliser et centrer
2. $T_e=0.1$
3. Interpoler avec $sinc$

On reprendre notre figure

On prend des echantillons a intervalles regulire

On va sommer les sinus cardinaux:

Ca va nous permettre de reconstruire notre signal:

Quel est l’interet du sinus cardinal ?

On peut utiliser n’importe quelle interpolation, mais le sinus cardinal est le meilleur

Quantification

Quantification scalaire: arrondir a l’entier le plus proche

• $x$: amplitude des valeurs
• $q(x)$: valeur de quantification

Traitement

Comment on debruite un signal ?

Convolution avec une fonction gaussienne ? Convolution avec une porte ? Non local means ? (c’est un flou gaussien ou un flou uniforme)

On a un signal avec un flou gaussien:

On fait une convolution avec une porte

En resume

• Comment echantilloner et reconstruire un signal
• Comment analyser un signal
• Comment filtrer une partie de l’information d’un signal

Transformee de Fourier

1. Rappel rapide
2. Analyser harmonique
   1. Decomposition en serie de Fourier
   2. Discrete Time Fourier Transform (DTFT)
      • Tf a temps discret
   3. Discrete Fourier Transform (DFT)
      • TF discrete
   4. Continuous Fourier Transform (CFT)
   5. Fast Fourier Transform (FFT)

Produit scalaire

Comment est-ce qu’on calcule un produit scalaire ?

\[\langle x, y\rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]y[n]^*\\ \langle x, y\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^*(t)dt\]

Avec Fourier, on est en complexes

\[\Vert x\Vert^2 = \langle x,x\rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\vert x[n]\vert\]

Decomposition/reconstruction

Soit \(\{f_n\}_{n\in\mathbb N}\to\) base orthogonale.

\[\langle f_n,f_p\rangle = 0\quad n\neq p\]

$\exists$ une suite $\lambda[n]$ telle que $\lim_{N\to+\infty}\Vert x-\sum\lambda[n]f_n\Vert = 0$

\[x=\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda_n f_n\quad\text{avec }\lambda_n = \frac{\langle x,f_n\rangle}{\Vert f_n\Vert^2}\]

Exercice

\[x = \sin(2\pi t) + 2\sin(3\times 2\pi t) - 3\sin(5\times 2\pi t) + \sin(7\times 2\pi t)\\ t = [0,1]\]

1. • Tracer $x$ avec 1000 echantillons
   • Decomposition de $x$ avec \(\{\sin(n\cdot 2\pi t)\}_{n\in N}\to\) $N = [0,…,5]$ ou $N = [0,…,20]$
     • Verifier l’orthogonalite
   • Tracer les coefficients
   • Reconstruction
2. Si on ajoute une phase au sinus ?
   • Idem